Нехай $M$ - гладкий многовид, $B$ - деякий компактний підмноговид в $M$, $p\colon E \to B$ - регулярний окіл $B$ в $M$ (тобто $E$ - це відкритий окіл $B$, а $p$ - відображення, яке є векторним розшаруванням). Нехай також  $D(M,B)$ - група дифеоморфізмів $M$ нерухомих на $B$ і ${\rm Aut}(E)$ - група автоморфізмів векторного розшарування. Тоді можна побудувати гомоморфізм груп $q\colon D(M,B) \to {\rm Aut}(E)$, який ставить у відповідність кожному $h$ з $D(M,B)$ автоморфізм $E$, який можна розглядати як ''дотичне відображення у напрямку шарів $E$''.

В доповіді показано, що це відображення допускає переріз $s\colon U \to D(M,B)$, визначений на деякому околі $U$ тотожного морфізму ${\rm id}(E)$. Доведення базується на конструкції певного ''пошарового експоненційного відображення''. Отриманий результат застосовується до підгруп в $D(M,B)$, що складаються з дифеоморфізмів, які зберігають певну гладку функцію $f\colon M \to \mathbb R$, для якої $B$ є множиною критичних точок. Також буде обговорено зв'язок з контраціями алгебр Лі.