Наукові досягнення

Макаров В.Л. є відомим спеціалістом у галузі обчислювальної математики. Основні його результати концентруються навколо чотирьох напрямків.

Теорія різницевих схем

Вперше введено і досліджено новий клас різницевих схем, які одержали назву різницеві схеми з точними та явними спектрами. Математичним апаратом цих схем є спеціальні функції дискретного аргументу. Для найбільш поширених задач математичної фізики такими спеціальними функціями дискретного аргументу виявились класичні ортогональні поліноми та асоційовані з ними, якщо їх розглядати як функції показника степеня. Для нулів асоційованих ультрасферичних поліномів доведено ряд важливих теорем про непокращувані двосторонні оцінки типу Стільтьєса та їх монотонність відносно параметра. Істотний внесок був зроблений В.Л.Макаровим зі учнями у подальший розвиток теорії точних та усічених різницевих схем довільного порядку точності, започаткований академіками А.Н.Тихоновим та О.А.Самарським у 1958-1962 роках для лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) другого порядку. Побудовано завершену теорію точних та усічених різницевих схем для векторних систем ЗДР другого порядку, диференціальних рівнянь вищих порядків, диференціальних рівнянь з виродженням та в необмежених областях. В.Л.Макаров разом з академіком О.А.Самарським та учнями побудували теорію точних та усічених компактних різницевих схем для нелінійних ЗДР та їх систем, що до останнього часу вважалось рядом математиків за неможливе. Одержані результати дозволили розробити математичне забезпечення, яке за своєю ефективністю не має світових аналогів. Значним здобутком для подальшого розвитку теорії різницевих схем став цикл результатів В.Л.Макарова разом з академіком О.А.Самарським та учнями по дослідженню різницевих схем для диференціальних рівнянь у частинних похідних з узагальненими розв'язками з класів Соболєва-Слободецького, швидкість збіжності яких узгоджена із гладкістю розв'язку вихідної диференціальної задачі. Для ряду випадків доведено непокращуваність оцінок швидкості збіжності. Зокрема, доведені прямі та обернені теореми.

Теорія операторного інтерполювання

Побудовано основи теорії поліноміального інтерполювання нелінійних операторів (відображень) у гільбертових просторах та їх узагальнення у довільних векторних просторах з різними типами інтерполяційних умов. З використанням апарату гільбертових просторів з мірою для фіксованого оператора побудовано однопараметричне сімейство згладжуючих операторних поліномів -- абстрактний аналог згладжуючих сплайнів. За допомогою граничного переходу в цьому сімействі за параметром доведено теореми про необхідні й достатні умови розв'язності задачі поліноміального операторного інтерполювання, про опис всієї множини інтерполянтів та інтерполянтів, що зберігають поліном. Всі умови носять конструктивний характер і не вимагають класичного співвідношення m=n+1 між кількістю інтерполяційних умов m і степенем інтерполяційного полінома п. З одержаних результатів, як частинні випадки, випливають всі відомі на сьогоднішній день результати по операторному інтерполюванню в конкретних функціональних просторах. Серед відомих класів інтерполяційних операторних поліномів особливе місце займають інтерполянти, що використовують інформацію про оператор на континуальних вузлах. Суттєвим недоліком цих інтерполянтів є те, що інтерполюють вони на дискретній множині вузлів, а від оператора вимагається інформація на континуальних вузлах. Указаний недолік вдалося усунути. Побудовано інтегральний операторний поліном і знайдені необхідні й достатні умови на оператор, при виконанні яких цей поліном буде інтерполяційним на континуальних вузлах. Одержано ряд узагальнень, у тому числі на випадок інтегральних ланцюгових дробів, який до цього в літературі не досліджувався.

Абстрактні задачі для диференціальних рівнянь з необмеженими операторними коефіцієнтами

В.Л. Макаров разом з І.П. Гаврилюком розробив новий метод наближення розв'язків задач Коші для диференціальних рівнянь першого та другого порядків з необмеженими операторними коефіцієнтами. Цей метод базується на перетворенні Келлі і не має насичення точності, тобто його швидкість збіжності тим вища, чим більшу гладкість мають вхідні дані. Перший результат тут був одержаний в 1994 році по наближенню операторної експоненти, інфінітезимальний оператор якої є самоспряженим і додатньо визначеним. Цей результат був у подальшому узагальнений на випадок банахового простору, операторного косинуса та інші. Слід зауважити, що на сьогоднішній день для наближення операторного косинуса не існує кращого метода за точністю при негладких початкових умовах.

Суттєвим кроком вперед у цій тематиці була розробка експоненційно збіжного методу з розпаралелюванням для наближення операторної експоненти у банаховому просторі, інфінітезимальний оператор якої є сильно П-позитивним оператором. Метод базується на інтегральному представленні Данфорда-Коші, спеціальній заміні змінної та сінк-квадратурах. Результати, одержані тут та їх узагальнення значно перевершують відповідні результати I.Sloan, V.Thomee (2000) та інших і були одержані раніше.

Функціонально-дискретний метод у спектральний та крайових задачах

У 1926 році в Boll. Unione Mat. Ital., 7, 72-26 М. М. Крилов разом з М. М. Боголюбовим надрукували статтю, де було дано строге математичне обґрунтування інженерного метода «metodo del troconi» розв’язування задач Штурма-Ліувілля, що полягав у заміні диференціального оператора зі змінними коефіцієнтами на диференціальний оператор з кусково-сталими коефіцієнтами. Розвиваючи ідеї цієї роботи, В. Л. Макаров у 1991 р. у Доповідях СРСР, 320, 34-39 запропонував функціонально-дискретний метод для розв’язування задач Штурма-Ліувілля, який є рекурентним і у якого розв’язок за методом тронсонів є початковим наближенням, що уточнюється на кожному кроці рекурентного процесу. Метод має ту чудову властивість, що він збігається не повільніше за геометричну прогресію, знаменник якої прямо пропорційний параметру дискретизації і обернено пропорційний порядковому номеру шуканого власного значення. Слід зауважити, що останньої властивості (чим більше порядковий номер, тим вище швидкість збіжності) не мають всі традиційні методи дискретизації (метод сіток, метод скінченних елементів, спектральні методи). Метод чудово зарекомендував себе при розв’язуванні різних класів задач на власні значення та крайових задач.

У 2008 році В. Л. Макаров узагальнив свій метод на нелінійний випадок спочатку у вигляді гіпотези в Доповідях НАН України з наступним строгим обґрунтуванням у ряді публікацій у провідних світових журналах. Було показано, що запропоноване узагальнення зберігає всі чудові властивості лінійного випадку. Алгоритмічна реалізація методу здійснювалась з використанням точних триточкових різницевих схем.