Интегралы уравнения Мещерского, выражаемые в специальных функциях

В докладе представлены задачи динамики свободного сферического тела переменной массы, которые сводятся к нелинейной задаче О. Коши для дифференциального уравнения И.В. Мещерского [1] и решаются в специальных функциях. Нелинейность задачи обусловлена квадратичной и квадратично-полиномиальной зависимостями силы сопротивления движению от скорости полёта, а переменность коэффициентов уравнения – изменением размеров и массы тела во времени. Определение первого интеграла уравнения И.В. Мещерского (скорости дви-жения) во вспомогательных переменных сводится к решению нелинейного уравнения Риккати. Введением вспомогательной функции, с помощью логарифмической производной, оно преобразуется в линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Последние зависит от принятого закона изменения радиуса тела во времени. При линейном законе изменения радиуса получаем расширенный Ломмелем [2] вариант уравнения Бесселя [3]. Скорость полёта выражается через цилиндрические функции, индекс которых зависит от способа учёта реактивной силы. Вид цилиндрических функций определяется направлением полёта. При движении вверх это функции Бесселя и Неймана, а при движении вниз – модифицированная функция Бесселя и Макдональда. Если изменение радиуса сферы происходит по закону Срезневского, то решение задач динамики представляются в функциях Эйри [4,5]. Знаки аргументов этих функций зависят от направления полёта, что определяет асимптотику поведения интегралов. Она различна для положительных и отрицательных аргументов [6]. При экспоненциальном изменении радиуса во времени задача динамики во вспомогательных переменных сведена к каноническому уравнению Уиттекера. Индексы функций Уиттекера в решении зависят от направления полёта (вверх или вниз), а также от способа учёта реактивной силы. Благодаря использованию асимптотик специальных функций малого и большого аргу-ментов удалось получить компактные формулы для оценок скорости полёта тела переменной массы, а также изучить экстремальные свойства решений.

[1] Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. – М.: ГИТТЛ, 1952. – 276 с.
[2] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции– М. : Наука, Т 2., 1974. – 295 с.
[3] Ольшанский В.П., Ольшанский С.В. О вертикальном движении сферического тела с убы-вающей массой // Приклад. механика. – 2008. – 44, № 6. – С. 118 – 125.
[4] Ольшанский В.П., Ольшанский, С.В. О максимуме скорости падения сферического тела убывающей массы // Механика и машиностроение. – 2007. – № 1. – С. 25 - 29.
[5] Ol'shanskii V.P., Ol'shanskii S.V. Lower estimate of the flight range of a fire-extinguishing liquid drop // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2007, – Vol. 80, – № 4. – P. 697 – 701.
[6] Абрамовиц А., Стиган И. Справочник по специальным функциям(с формулами, графиками и математическими таблицами) – М. : Наука, 1979. – 832 с.