sl_2 - геометрии

Мы изучаем геометрии на прямой и плоскости со структурной алгеброй Ли sl_2(R). В случае прямой мы показываем, что любое представление алгебры sl_2(R)строится по фундаментальной системе решений уравнения Шредингера, потенциал которого определяется самим представлением. Мы указываем необходимые и достаточные условия того, что представление эквивалентно стандартному и тем самым соответствующая геометрия совпадает со стандартной проективной геометрией прямой. Мы приводим так же примеры нестандартных проективных геометрий. В случае плоскости мы даем полную локальную классификацию как примитивных, так и импримитивных sl_2-действий. Мы показываем, что имеется два примитивных действия, которым отвечают геометрии Лобачевского и де Ситтера. Для всех sl_2 геометрий мы описываем соответствующие геометрические величины и находим структуры алгебр их дифференциальных инвариантов. Доклад основывается на результатах, опубликованных в следующих работах [1], [2], [3], [4].

[1] Коновенко Н.Г. Алгебры диференціальних інваріантів геометричних величин на афінній прямій. Вісник Київського університету, вип.№2, серія: фізико-математичні науки, 2008, с.9-16.
[2] Konovenko N. Projective structures snd algebras of their differential invariants. Acta Applicandae Mathematical manuscript, 2009.
[3] Коновенко Н.Г., Лычагин В.В. Дифференциальные инварианты нестандартных проективных структур. Доповіді НАН України, №11, 2008, с.10-13.
[4] Коновенко Н.Г., Лычагин В.В. Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера. Доповіді НАН України (в печати).