Неабелевы алгеброиды Ли над пространствами струй

Аннотация:
Представления нулевой кривизны с коэффициентами в заданной алгебре Ли нужны для нахождения решений задачи Коши для нелинейных УрЧП методом обратной задачи рассеяния. С геометрической точки зрения каждое такое представление - это 1-форма плоской связности в главном расслоении над пространством струй, содержащем исследуемое нелинейное уравнение. Если искомые функции в нём зависят от двух (но не трёх и более) переменных (x,t), представление нулевой кривизны должно содержать параметр, неустранимый относительно калибровочных преобразований (если независимых переменных не менее трёх, наличие спектрального параметра не обязательно). Недавно M. Марван предложил очень удобную когомологическую технику проверки, является ли (не)устранимым параметр в заданном семействе представлений нулевой кривизны ; соответствующий дифференциал строится явно и затем используется в процедуре проверки.

В работе arXiv:1305.4598 [math.DG] (совм. с А. Крутовым) установлено соответствие между идеей Марвана и одним естественным классом вариационных алгеброидов Ли - в частности, построенные Марваном операторы являются в них якорями. Расширяя исходную геометрическую модель метода обратной задачи, мы добавляем к слоям векторных расслоений, сечениями которых были 1-формы плоских связностей с коэффициентами в алгебре Ли, двойственное пространство к этой алгебре и ещё - нечётных соседей этих двух векторных пространств. На основе "учетверённой" модели мы строим новый комплекс - как нетрудно заметить, мы реализуем вариационный алгеброид Ли в терминах гомологического эволюционного векторного поля или, что эквивалентно, в терминах производящего функционала S, удовлетворяющего классическому мастер-уравнению [[S,S]]=0 относительно вариационной скобки Схоутена. Поскольку указанная конструкция корректно определена для любого числа независимых переменных, её предполагаемое квантование не сведётся к геометрии Баталина-Вилковского для моделей Черна-Саймонса над трёхмерными многообразиями - наоборот, появляется возможность применить технику деформационного квантования к обратной задаче рассеяния для решаемого нелинейного уравнения.

Совместная работа с А.О. Крутовым (Кафедра высшей математики, Ивановский государственный энергетический университет, Россия).