Розвиток Інституту математики
на сучасному етапі
(1990 - 2003 рр.)
На початку 90-х років Інститут математики налічував 18 наукових відділів, до складу яких входило 10 структурних лабораторій: відділ математичної фізики і теорії нелінійних коливань (керівник Ю. О. Митропольський) із лабораторіями крайових задач електродинаміки і пружності (А. А. Березовський) та інформаційних технологій і комп'ютерної математики (В. А. Широков), теорії динамічних систем (О. М. Шарковський), звичайних диференціальних рівнянь (А. М. Самойленко), алгебри (А. В. Ройтер), топологічних методів аналізу (Ю. Ю. Трохимчук), теорії ймовірностей і математичної статистики (В. С. Королюк) із лабораторією прикладної статистики (А. Ф. Турбін), функціонального аналізу (Ю. М. Березанський) із лабораторією обернених задач спектрального аналізу (Л. П. Нижник), випадкових процесів (А. В. Скороход) із лабораторією стохастичних диференціальних рівнянь і дифузійних процесів (М. І. Портенко), диференціальних рівнянь із частинними похідними (М. Л. Горбачук), теорії функцій (В. К. Дзядик) із лабораторією гармонічного аналізу (О. І. Степанець), теорії наближень (М. П. Корнєйчук), комплексного аналізу і теорії потенціалу (П. М. Тамразов), прикладних досліджень (В. І. Фущич) із лабораторією математичних проблем тепломасопереносу (А. С. Галіцин), математичного моделювання (Б. Б. Нестеренко), стійкості багатовимірних систем (І. О. Луковський) із лабораторією математичних проблем механіки (Д. Г. Коренівський), механіки і процесів управління (В. М. Кошляков), теорії надійності ймовірнісних систем (Г. П. Буцан) із лабораторією статистичних методів теорії надійності (І. І. Єжов), математичних методів статистичної механіки (Д. Я. Петрина).
У цей період вчені інституту виконують дослідження з таких актуальних напрямків математики: алгебра, топологія, теорія функцій, функціональний аналіз, теорія звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь із частинними похідними, математична фізика і теорія нелінійних коливань, теорія ймовірностей та математична статистика, математичні методи механіки, обчислювальна математика, математичне моделювання і прикладна математика.
У теорії нелінійних коливань розвинуто асимптотичні методи для рівнянь вищих порядків та рівнянь із частинними похідними, побудовано адіабатичні інваріанти для широких класів динамічних систем, доведено важливі теореми теорії стійкості (Ю. О. Митропольський); отримано суттєві результати в побудові конструктивної теорії локальних центральних многовидів (О. Б. Ликова).
У теорії диференціальних рівнянь розв'язано проблему асимптотичного розщеплення сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь у складній біфуркаційній точці коефіцієнтів системи; розроблено методи асимптотичного інтегрування лінійних систем із повільно змінними коефіцієнтами та виродженнями, завершено обґрунтування чисельно-аналітичного методу дослідження періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь, зокрема, знайдено точне значення радіуса збіжності мажорантного ряду цього методу; побудовано теорію Фавара для лінійних імпульсних систем з обмеженими операторними коефіцієнтами в банаховому просторі (А. М. Самойленко).
У 1996 році за цикл робіт "Нові математичні методи в нелінійному аналізі" Ю. О. Митропольський, А. М. Самойленко, В. Л. Кулик, О. К. Лопатін та М. Й. Ронто удостоєні Державної премії України.
Розроблено основні положення теорії майже періодичних імпульсних систем і теорії лінійних імпульсних розширень динамічних систем на торі (С. І. Трофімчук, В. І. Ткаченко).
Побудувано основи локальної теорії нелінійних функціональних рівнянь, розвинуто метод нормальних форм Пуанкаре для неавтономних різницевих рівнянь (Г. П. Пелюх).
Отримано вагомі результати в теорії нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь і рівнянь з імпульсною дією (О. А. Бойчук).
У теорії динамічних систем запропоновано класифікацію одновимірних динамічних систем за типом траєкторії, що обертається; знайдено критерії простоти і складності; розвинуто новий підхід до математичного моделювання турбулентності (концепція "ідеальної турбулентності") і з нової точки зору розглянуто розвиток каскадного процесу утворення структур і виникнення просторово-часового детермінованого хаосу; запропоновано математичний формалізм для опису процесів утворення структур, у тому числі фрактальних, розв'язками різницевих рівнянь із неперервним аргументом (О. М. Шарковський).
У теорії диференціальних рівнянь із частинними похідними створено теорію степеня збурення щільно заданого максимально монотонного оператора із застосуванням її до проблем розв'язності варіаційних нерівностей і диференціальних включень еліптичного і параболічного типів, побудовано коректор відносно рівномірної збіжності для розв'язку нелінійної параболічної задачі в загальній перфорованій області та вивчено поведінку залишкового члена його асимптотичного розкладу (І. В. Скрипник).
Досліджено еволюційні рівняння з регуляризованою дробовою похідною відносно часу, котрі широко застосовуються у фізиці для опису аномальної дифузії; побудовано матрицю Гріна задачі Коші для неоднорідного рівняння фрактальної дифузії із змінними коефіцієнтами (С. Д. Ейдельман, А. Н. Кочубей).
Побудовано теорію псевдодиференціальних операторів над полем п-адичних чисел і загальними локальними полями; одержано зображення канонічних комутаційних співвідношень операторами над локальним полем характеристики п, що уможливило систематичну розробку основ аналізу і теорії звичайних диференціальних рівнянь над такими полями; розроблено теорію диференціальних рівнянь із нерегулярними особливостями над полем додатної характеристики (А. Н. Кочубей).
Для диференціальних рівнянь у банаховому просторі як над архімедовим, так і неархімедовим полем знайдено критерії розв'язності задачі Коші в різноманітних класах аналітичних вектор-функцій скінченних порядку і типу, за допомогою яких було визначено межі застосування методу степеневих рядів до знаходження як точних, так і наближених розв'язків цих рівнянь; для наближених розв'язків одержано апріорні оцінки похибки наближення; побудовано теорію граничних значень півгруп лінійних операторів у банаховому просторі, знайдено критерії розв'язності диференціальних рівнянь у банаховому просторі в класах цілих вектор-функцій скінченного порядку (М. Л. Горбачук, В. І. Горбачук).
На еволюції, що описуються диференціальними рівняннями другого порядку гіперболічного типу, поширено схему Лакса - Філліпса; одержано зображення матриці розсіяння і досліджено її залежність від вибору вільної еволюції; розв'язано обернену задачу (С. О. Кужель).
Розвинуто негауссовий, зокрема пуассонівський, нескінченновимірний аналіз на просторах, спряжених до ядерного, і на просторах конфігурацій та спектральну теорію якобійових полів, на основі якої побудовано узагальнення хаотичного зображення для гамма-поля операторів і відповідного стохастичного процесу; побудовано теорію розкладів за сумісними узагальненими власними векторами загальних сімей комутуючих нормальних операторів; розроблено теорію розсіяння в термінах білінійних функціоналів (Ю. М. Березанський, Л. П. Нижник, В. Д. Кошманенко).
Розроблено методи теорії гіпергруп та алгебраїчні методи функціонального аналізу, що, зокрема, дало можливість описати зображення широкого класу квантових груп та однорідних просторів (Ю. М. Березанський, Ю. С. Самойленко).
Побудовано гармонічний аналіз на просторах конфігурацій і вказано його застосування до рівноважних та нерівноважних проблем нескінченно частинкових систем математичної фізики, запропоновано зручну для застосувань у пуассоновому аналізі модифікацію біортогонального аналізу (Ю. М. Березанський, Ю. Г. Кондратьєв).
Розвинуто нові математичні методи дослідження рівноважних станів у класичних і квантових неперервних системах і наведено їх застосування до моделей математичної фізики, доведено існування глауберової динаміки для загального класу потенціалів взаємодії, отримано нову систему рівнянь для кореляційних функцій такої динаміки; запропоновано нові підходи до побудови дифузійних та глауберових процесів, проаналізовано ергодичні властивості і скейленгові границі розглянутих процесів (Ю. Г. Кондратьєв, О. Л. Ребенко).
Розроблено нові теоретико-операторні методи аналізу операторів Шредінгера з сингулярними потенціалами та досліджено їх спектральні властивості (В. А. Михайлець).
Досліджено сингулярно збурені самоспряжені оператори на основі збурення білінійних форм, отримано умови виникнення власних значень у спектральних лакунах основного оператора та вивчено спектральні властивості оператора Шредінгера з сингулярним потенціалом (Л. П. Нижник, В. Д. Кошманенко).
У 1998 році за цикл робіт "Нові методи в теорії узагальнених функцій та їх застосування до математичної фізики" Ю. М. Березанському, В. І. Горбачук, М. Л. Горбачуку, Ю. Г. Кондратьєву та Л. П. Нижнику присуджено Державну премію України.
У математичній фізиці та статистичній механіці побудовано розв'язки рівнянь Боголюбова для класичних та квантових нескінченних систем, досліджено спектри модельних гамільтоніанів у просторах трансляційно-інваріантних функцій, виведено рівняння Больцмана з рівнянь Боголюбова без використання додаткових фізичних гіпотез, знайдено та досліджено рівняння для коефіцієнтних функцій матриці розсіяння поліноміальних моделей, вивчено спектр модельного гамільтоніана теорії надпровідності для скінченного куба з періодичними граничними умовами (Д. Я. Петрина, В. І. Герасименко).
Досліджено ієрархії дифузійних рівнянь боголюбовського типу, що описують броунівську динаміку плоских ротаторів, осциляторів та частинок із парною взаємодією; знайдено узагальнені розв'язки гіббсівського типу цих ієрархій та розв'язано для них задачу Коші у банахових просторах, що містять рівноважні (гіббсівські) кореляційні функції (В. І. Скрипник).
Розроблено методи побудови розв'язків для дуальної ієрархії рівнянь Боголюбова для нескінченних квантових та класичних систем частинок (В. І. Герасименко).
Побудовано незвідні зображення парасупералгебри Пуанкаре, яка містить центральні заряди і алгебру внутрішніх симетрій; вперше знайдено рівняння руху релятивістської частинки із спіном 3/2, які не мають непричинних зв'язків; побудовано парасуперсиметричну модель Веса - Зуміно та модель суперсиметричної квантової механіки з центральними зарядами (А. Г. Нікітін).
У 2001 році за цикл праць "Функціонально-аналітичні та групові методи в математичній фізиці" Д. Я. Петрина, В. І. Герасименко, А. Г. Нікітін, П. В. Малишев, В. І. Фущич (посмертно) удостоєні Державної премії України.
У теорії ймовірностей розглянуто марковські збурення диференціальних, інтегральних та різницевих рівнянь; знайдено асимптотику розв'язків для високочастотних збурень; доведено теорему існування розв'язку нескінченної системи стохастичних диференціальних рівнянь, яка описує поведінку нескінченної кількості взаємодіючих частинок (А. В. Скороход).
Розвинуто асимптотичні методи аналізу стохастичних диференціальних рівнянь, створено теорію, що ґрунтується на понятті розширеного стохастичного інтеграла, і розроблено методи побудови та дослідження математичних моделей явища дифузії в середовищах із напівпрозорими мембранами (А. В. Скороход, М. І. Портенко).
Обґрунтовано евристичні принципи фазового укрупнення складних систем, одержано вагомі результати в теорії масового обслуговування і теорії надійності, доведено ряд граничних теорем для напівмарковських процесів, побудовано пуассонову апроксимацію стохастичних однорідних адитивних функціоналів із напівмарковськими перемиканнями (В. С. Королюк).
На основі нових математичних моделей явища дифузії в середовищах із напівпрозорими мембранами вивчено характер поведінки частинок, що дифундують поблизу таких мембран, зокрема мембран з липучими точками, мембран, які діють в нахиленому напрямку, тощо; дано повний опис класу граничних розподілів для кількості перетинів мембрани дискретною апроксимацією узагальнених дифузійних процесів, що моделюють рух заданої частинки (М. І. Портенко).
Введено і досліджено Р-гармонічні стаціонарні випадкові процеси; вивчено ізотропні броунівські рухи, альтернативні процесам Вінера - Леві; побудовано моделі броунівського руху, альтернативні моделі Ейнштейна - Вінера - Леві та розвинуто аналітичний апарат для їх дослідження; знайдено ймовірнісний розв'язок гіперпараболічного рівняння (А. Ф. Турбін).
Запропоновано нове означення сильного мірозначного розв'язку для стохастичних рівнянь; доведено теорему існування для цього розв'язку та встановлено його зв'язок із слабким розв'язком; за допомогою критерію слабкої збіжності випадкових мірозначних процесів доведено існування еволюційного процесу, в якому маса переноситься незалежними броунівськими частинками (А. А. Дороговцев).
У 2003 році за цикл монографій "Аналітичні та асимптотичні методи дослідження стохастичних систем та їх застосування" В. С. Королюк, А. В. Скороход, М. І. Портенко, А. А. Дороговцев і А. Ф. Турбін удостоєні Державної премії України.
В алгебрі знайдено критерій скінченної зображуваності для біінволютивних частково впорядкованих множин і наведено явні критерії такої зображуваності для триадичних та діадичних множин, введено поняття маркованого колчана, дано характеристику скінченно зображуваних маркованих колчанів та одержано критерії скінченності та ручності для важливих класів матричних задач (А. В. Ройтер, Л. О. Назарова).
З'ясовано основні властивості та структуру локально ступінчастих РН-груп з умовою шарової мінімальності, описано структури періодичних локально розв'язних груп, які розкладаються у добуток двох гіперабельових локально нільпотентних підгруп, встановлено властивості груп із зростаючим цокольним рядом (М. С. Черніков).
У термінах діаграм Динкіна наведено необхідні та достатні умови скінчен-новимірності як степеневого, так і експоненціального росту алгебр, породжених лінійно зв'язними ідемпотентами із заданими спектрами (Ю. С. Самойленко).
У теорії функцій за допомогою сплайнів розроблено нові методи оптимального відновлення функціональної залежності за неповною або неявною інформацією, розв'язано задачу оптимізації адаптивних методів відновлення неперервних функцій, отримано точні оцінки у випадках, коли адаптивні методи гарантують більш високий порядок похибки порівняно з неадаптивними (М. П. Корнєйчук).
У 1994 році за цикл робіт "Теорія сплайнів та її застосування в оптимізації наближень" М. П. Корнєйчук удостоєний Державної премії України.
Подальшого розвитку набув апроксимаційно-ітеративний метод рівномірного наближення розв'язків нелінійних диференціальних та інтегральних рівнянь (В. К. Дзядик).
Створено методи, що дають змогу єдиним способом розв'язувати традиційні задачі теорії наближень для різноманітних об'єднань функцій, зокрема, для широко відомих класів Вейля - Надя і Соболєва та класів функцій, що визначаються згортками з довільними інтегровними ядрами; запропоновано новий підхід до класичних задач теорії наближення в абстрактних лінійних просторах (О. І. Степанець).
Побудовано теорію субгармонічного і плюрісубгармонічного продовження функцій та теорію потенціалу для просторових конденсаторів, розв'язано нові екстремальні задачі в теорії однолистих відображень на областях, що не налягають одна на одну, і побудовано контурно-тілесну теорію тонкоголоморфних та тонкогіпогармонічних функцій без обмежень про їх глобальну мажорацію (П. М. Тамразов).
У топології суттєво розвинуто гомологічну алгебру і К-теорію. Для простору функцій Морса на поверхнях знайдено необхідні й достатні умови належності функцій до однієї компоненти зв'язності та критерії існування на чотиривимірному многовиді функцій Ботта з тороїдальною сингулярною множиною, побудовано гомотопічні інваріанти ланцюгових комплексів гільбертових модулів над алгебрами фон Неймана, розроблено топологічну класифікацію функцій з ізольованими сингулярностями на поверхнях (В. В. Шарко).
В обчислювальній математиці побудовано чисельно-аналітичний метод для знаходження розв'язку задачі Коші для абстрактних диференціальних рівнянь першого та другого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом, який має експоненціальну швидкість збіжності і допускає розпаралелювання; знайдено достатні умови стійкості абстрактних тришарових різницевих схем, коефіцієнти яких залежать від одного сильно Р-позитивного оператора (В. Л. Макаров).
Побудовано теорію локально асинхронних методів паралельних обчислень та розроблено багатосітковий асинхронний метод дослідження нелінійних фізичних процесів в областях довільної форми (Б. Б. Нестеренко).
У механіці для нелінійних крайових задач теорії руху тіла з рідиною, що знаходиться у віброакустичному полі і має вільну поверхню, отримано варіаційні критерії стійкості поверхні розділу та квазістатичної форми рівноваги, встановлено нові ефекти перекиду та провалу обмеженого об'єму рідини; сформульовано варіаційний принцип у нелінійній теорії руху плаваючих тіл, частково заповнених рідиною; доведено, що екстремальні значення відповідного функціонала досягаються на розв'язках нелінійних крайових задач із вільними границями, які описують безвихровий рух зовнішнього та внутрішнього об'єму рідини; запропоновано інваріантну форму нелінійних рівнянь збуреного руху твердого тіла з циліндричною порожниною, частково заповненою рідиною (І. О. Луковський).
Розроблено методи дослідження стійкості важкого твердого тіла, яке обертається навколо своєї осі, стійкості механічних консервативних систем; на основі непозиційної системи залишкових класів досліджено різноманітні задачі інерційної навігації; розроблено методи структурної декомпозиції та керування динамічними системами; обґрунтовано допустимість застосування рівнянь прецесійної теорії до нестаціонарних гіроскопічних систем (В. М. Кошляков, С. П. Сосницький, С. М. Онищенко, В. В. Новицький, К. І. Науменко).
Проведено фундаментальні дослідження динаміки руху твердого тіла на струнному підвісі, за які в 1996 році М. Є. Темченко та В. О. Стороженко удостоєні Державної премії Росії.
Матеріали статті дозволяється використати відповідно до ліцензії GNU FDL без незмінюваних секцій та Creative Commons Attribution/Share-Alike