ВСТУП

Актуальність теми. Задачі, що відносяться до рівнянь гіперболічного типу другого порядку, виникають у різних прикладних областях, зокрема в задачах акустики, електродинаміки, динамічної теорії пружності тощо. Найчастіше при їх розв’язуванні використовують метод скінченних різниць. За цим методом вихідну диференціальну задачу у частинних похідних замінюють відповідною різницевою схемою, що є системою скінченної кількості алгебраїчних рівнянь. Тобто для розв’язування неперервної задачі будують дискретну модель, характер поведінки якої описують різницеві рівняння. Очевидно, будь-яка дискретна модель не тотожна вихідній неперервній задачі.

Особливістю наближених методів є те, що кожному рівнянню можна поставити у відповідність велику кількість різницевих апроксимацій, що мають майже однакові характеристики. Тому побудова різницевих схем, властивості яких якнайповніше відповідають вихідній диференціальній задачі, — суть і предмет методу скінченних різниць, а розвиток теорії різницевих схем природно шукають у покращенні порядку апроксимації, а також у зменшенні кількості арифметичних операцій для знаходження розв’язків. Іншими словами, різницева схема повинна якомога краще моделювати властивості вихідного диференціального рівняння, до того ж кількість арифметичних дій, потрібних для знаходження розв’язку, має бути по можливості пропорційна кількості вузлів сітки.

Побудова різницевих схем для рівнянь у частинних похідних з узагальненими розв’язками, швидкість збіжності яких узгоджена з гладкістю цих розв’язків, привертає сьогодні особливу теоретичну увагу. Як зазначається або приймається за очевидне у кожній роботі з чисельних методів, основним питанням для теорії та практики наближених методів є питання точності розв’язку. Дослідження задач з негладкими розв’язками для рівнянь гіперболічного типу потребують особливої уваги через те, що негладкості середовища для таких рівнянь не зникають з часом. Проблема узагальнюється таким чином: як покращити точність наближенного методу, не збільшуючи при цьому паразитичних осциляцій, які з’являються при переході на кожний наступний ярус. Це явище виникає, коли розв’язок негладкий, має розриви та особливі точки (наявні зконцентровані зовнішні сили, точкові джерела тощо). Причина таких осциляцій — дисперсія різницевої схеми по відношенню до диференціальної задачі, тобто відмінність (відставання або випередження) фазової швидкості сіткових гармонік від гармонік диференціальних. Звідси ясно, якою важливою є побудова таких схем для розв’язування гіперболічних рівнянь, де враховані дисперсійні властивості неперервної моделі і, можливо, до мінімуму зведений спотворюючий вплив цих властивостей.

Стан проблеми. Огляд літератури. Проблема існування дисперсії розглядалася багатьма авторами. Першими роботами, у яких було відмічено зв’язок між дисперсією різницевих схем та втратою точності розв’язків рівнянь гіперболічного типу, були роботи К.Роберта, В.Вайса [64] та Дж.Фромма [56], в яких дисперсія досліджувалася для різних різницевих схем, що апроксимують гіперболічне рівняння першого порядку. Надалі на існування дисперсії для одновимірних рівнянь вказувалося в роботах С.Орзаґа [62], Р.Чина [54]. М.М.Москальковим в роботах [32], [33], [31] показаний зв’язок осциляцій сіткових розв’язків з дисперсією гармонік різницевої схеми для одновимірних гіперболічних рівнянь як першого, так і другого порядку. Різними авторами проводився дисперсійний аналіз для різних задач математичної фізики. Для рівнянь газової динаміки в [41] та [39] розв’язувалися проблеми зв’язку дисперсії та стійкості різницевих схем. Для спектральних методів розв’язування задач гідродинаміки подібні проблеми ставилися і в [42]. В роботах [22], [36] та [55] розглядалися дисперсійні властивості різницевих схем для рівняння переноса. Рівняння акустики розглядалося в [23], [35]. Огляд робіт, присвячених цьому питанню, можна знайти в роботі Л.Трефетхена [70] де досліджувалися дисперсійні властивості різницевих схем, що апроксимують двовимірне хвильове рівняння. За допомогою методу диференціальних наближень проблема дисперсії досліджувалася в роботі [50].

Пропонувалися різні методи боротьби з наслідками дисперсії —паразитичними осциляціями розв’язків гіперболічних рівнянь. Один з них — введення в рівняння так званої штучної в’язкості (див. роботу П.Роуча [63]). Однак цей спосіб не завжди задовільний: втрачається справжній профіль розв’язку та ускладнюються алгоритми, особливо, коли необхідно працювати з великою кількістю вузлів сітки. За іншими методами, що враховують існування дисперсії, пропонується вводити додатковий антидисперсійний ярус (див. [14]), або розглядати неортогональні сітки як на площині [27], так і в тривимірному просторі [51], [67], [61], [69].

В роботах О.С.Макаренка та М.М.Москалькова [22–23] було вперше доведено, що в двовимірному випадку, виявляється, існує залежність дисперсії різницевої схеми не лише від номера сіткових гармонік, а й від напрямку руху хвилі. Для неявних різницевих схем для двовимірного гіперболічного рівняння в роботі [30] було показано, що можна суттєво покращити дисперсію у заданому напрямку руху хвилі за допомогою вибору вагів схеми. Деякі дослідження дисперсії окремих різницевих схем можна також знайти в роботах [9], [7], [60], [58], [66], [65] та [57].

В роботі В.Л.Макарова, С.В.Макарова, М.М.Москалькова [27] було помічено, що у різницевих схем на правильних трикутних сітках дисперсійні властивості кращі за дисперсійні властивості схем на звичайних шаблонах прямокутної сітки. Пояснюється це тим, що існує залежність між виглядом шаблону та дисперсією схеми. Відмічалося, також, що на правильній трикутній сітці можна побудувати схеми четвертого порядку точності для рівняння Пуассона. Вперше подібне покращення апроксимації для неортогональних сіток розглядав В.І.Лебедев в роботі [20] (див. також [15]).

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Місцем виконання роботи є кафедра чисельних методів математичної фізики факультету кібернетики Київського університету, де протягом багатьох років школою В.Л.Макарова проводяться теоретичні та експериментальні дослідження з теорії різницевих схем з узагальненими розв’язками.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова та розробка методів реалізації схем на прямокутних сітках для двовимірних та тривимірних рівняннь гіперболічного типу, дисперсійні та апроксимаційні властивості яких кращі за властивості вже відомих схем. З цього випливає необхідність доведення того, що точність нових схем на негладких розв’язках не гірша за точність вже існуючих схем.

Методика дослідження. Методи дослідження апроксимації, стійкості та збіжності нових схем відносяться до теорії різницевих схем, яка на сьогодні набула довершеного вигляду у роботах О.А.Самарського, Г.І.Марчука, Р.Д.Лазарова, В.Л.Макарова.

Наукова новизна. В дисертаційній роботі пропонується та досліджується новий клас різницевих апроксимацій — оператори на неортогональних шаблонах прямокутної сітки. Більша близкість до кола цих шаблонів обумовлює кращі дисперсійні характеристики схем з операторами, що використовують їх для апроксимації гіперболічних рівнянь.

Проведений повний аналіз різницевих схем з оператором Лапласа на неортогональному семиточковому шаблоні у площині та неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі.

Показано, що властивості оператора на семиточковому шаблоні прямокутної сітки не гірші за відповідні властивості семиточкового шаблону трикутної сітки. А саме, на семиточковому шаблоні прямокутної сітки можна побудувати схему з четвертим порядком точності за простором для еліптичних та з четвертим порядком точності як за простором так і за часом для гіперболічних рівнянь.

Показано, що головний член розкладу дисперсії на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки не залежить від напрямку руху хвилі.

Для схем на неортогональному семиточковому шаблоні побудовані прямі методи знаходження розв’язку. Показано, що перехід на прямокутну сітку дозволяє побудувати прямі методи для знаходження розв’язків еліптичних рівнянь, які у два рази ефективніші за методи на симетричній трикутній сітці (робота В.Л.Макарова, С.В.Макарова, М.М.Москалькова [27]) та мають однакову ефективність з методами на несиметричній трикутній сітці (роботи І.Є.Капоріна, Є.С.Ніколаєва [16]).

Для різницевої апроксимації гіперболічнного рівняння на прямокутній сітці, на відміну від сіток трикутних, можлива факторизація, яка дозволяє знаходити розв’язкі за кількість операцій, що пропорційна кількості вузлів сітки.

Для періодичних крайових умов запропонований новий метод знаходження розв’зків, оснований на використанні дискретних перетворень Гартлі [6].

Теоретична та практична цінність роботи. Результати, отримані в дисертаційній роботі, можуть бути використані при розв’язуванні широкого класу практичних задач, які зводяться до рівнянь еліптичного та гіперболічного типів: задач акустики, електродинаміки, теорії переносу тощо.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно [1], [2], [4]. В публікації, що написана в співавторстві [3], дисертанту належить метод побудови різницевої схеми.

Апробація результатів роботи. Основні результати доповідалися на кафедрі чисельних методів математичної фізики Київського університету імені Тараса Шевченка та на международній конференції «Інформатика, обчислювальна та прикладна математика. Теорія, застосування, перспективи» (INAMTAP’96, Київ, 1996).

Публікації. Основні положення дисертації викладені у чотирьох статтях [1–4].

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 137 сторінок, складається із вступу, трьох розділів, семи параграфів, висновків та переліку літератури з 71 найменування. Містить 21 рисунок та 7 таблиць.

Методи дослідження апроксимації, стійкості та збіжності відносяться до теорії різницевих схем, яка на сьогодні набула довершеного вигляду у роботах О.А.Самарського [43], Г.І.Марчука [29], О.А.Самарського, Р.Д.Лазарова, В.Л.Макарова [44].

Короткий зміст дисертаційної роботи.

В дисертаційній роботі на прямокутній сітці (на площині та у тривимірному просторі) пропонується будувати шаблони, форма яких близька до кола (сфери), природної форми фазової швидкості диференціальних задач. Пропонується будувати неортогональні шаблони, тобто такі, в різницевому запису яких відсутній один з напрямків осей координат. Найхарактерніший з таких шаблонів — неортогональний семиточковий шаблон прямокутної сітки — займає головне місце дослідження. Одним з критеріїв вибору прямокутної сітки замість неортогональної (скажімо, трикутної) є мотив спрощення алгоритмів знаходження розв’язку, представленого у вузлах сітки.

Робота містить три розділи та сім параграфів.

У Розділі І (§§1–3) пропонується метод побудови різницевої апроксимації оператора Лапласа, оснований на зведенні похідних за змінними до похідних за введеними напрямками. Більша близькість шаблонів до кола (двовимірний випадок) або до сфкри (тривимірний випадок) забезпечує таким операторам кращі дисперсійні властивості, порівняно із звичайними різницевими операторами. Ідея методу походить від робіт [20], [26], [27], [28], де показано, що застосування ортогональних шаблонів (п’ятиточкового — типу «хрест», дев’ятиточкового — схеми підвищеного порядку точності) не єдина прийнятна можливість апроксимувати диференціальний оператор Лапласа. В згаданих роботах на трикутних сітках розглядаються оператори, що мають трикутний або шестикутний шаблон і мають кращі дисперсійні [27] та апроксимаційні [20], [15] властивості за оператори на звичайних «прямокутних» шаблонах. Викладений у §2 метод побудови різницевої апроксимації оператора Лапласа на неортогональних шаблонах використовує звичайні прямокутні сітки, що відрізняється від ідеї методу операторних різницевих схем [46] де використовуються неортогональні сітки, а граничний випадок — прямокутна сітка призводить до звичайних схем. Суть методу полягає у тому, що на прямокутній сітці задаються певні напрямки, кількість яких більша за кількість осей координат. Диференціальний оператор Лапласа у похідних за змінними зводиться до певного оператора у похідних за введенними напрямками. За допомогою інтеґральних операторів усереднення за кожним з напрямків будується різницевий оператор Лапласа. За побудовою така апроксимація наближає диференціальний оператор з другим порядком. Для зменшення кількості напрямків розглядаютья лише неортогональні шаблони — відсутній один з напрямків, що збігаються з осями координат. Як для площини, так і для тривимірного простору побудовано основні різницеві оператори на таких шаблонах. Скажімо, для трьох напрямків на площині ми отримуємо оператор L₇y на неортогональному семиточковому шаблоні:

Виявлено, що для операторів на таких шаблонах можна знайти явний вигляд власних значень, що суттєво при побудові ефективних алгоритмів.

В §3 детально досліджуються спектральні властивості різницевого оператора на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки. Знайдено явний вигляд власних функцій та власних значень цього оператора. Отримано оцінки максимального та мінімального власних значень. Досліджено дисперсійні властивості явної різницевої схеми для двовимірного хвильового рівняння, що використовує апроксимацію оператора Лапласа на семиточковому шаблоні. Очевидно, для таких схем можна вибирати більш великий крок за часом ніж для схем із звичайними апроксимаціями. Показано, що властивості оператора Лапласа на семиточковому неортогональному шаблоні прямокутної сітки не гірші, за властивості оператора на аналогічному шаблоні трикутної сітки. Тобто, побудовані на прямокутній та на трикутній сітці схеми мають однакові дисперсійні властивості, які кращі за властивості схем на звичайних ортогональних шаблонах прямокутної сітки. До того ж на прямокутній сітці можна побудувати схеми четвертого порядку точності, використовуючи неортогональний семиточковий шаблон, замість дев’ятиточкового шаблону схеми підвищеного порядку точності. У цьому ж параграфі досліджуються спектральні властивості різницевого оператора Лапласа на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі. Цей найпростіший неортогональний шаблон першого типу в тривимірному просторі для відношення кроків сітки має вигляд кубооктаедра — напівправильного особливого архімедового тіла. Для оператора Лапласа на такому шаблоні отриманий явний вигляд власних значень та знайдено їх максимальне та мінімальне значення.

У Розділі ІІ (§§4–5) проводится дослідження збіжності різницевих схем на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки. У §4 за допомогою двовимірного сіткового перетворення Фур’є, леми Брембла-Гільберта та сіткового аналога теореми Марцинкевича про мультиплікатор [44] встановлено оцінку збіжності різницевої схеми на семиточковому шаблоні для рівняння Пуассона з крайовими умовами Діріхле у нормі Lp. Саме завдяки методу з §2 схема доведення класична: за допомогою введених операторів усереднення будується різницева схема; похибка апроксимації подається у вигляді, що відповідає вигляду різницевого оператора; робиться оцінювання складових похибки апроксимації і знаходиться оцінка швидкості збіжності схеми. Знайдена оцінка швидкості збіжності для схеми підвищеного порядку точності на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки. Отримана також оцінка для схеми на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі.

У §5 методами, викладеними у роботах [25], [18], [34] і особливо [10–11] проводиться дослідження збіжності методів дискретизації для гіперболічного рівняння другого порядку. Отримані узгоджені оцінки швидкості збіжності методу сіток та методу прямих. Як і для схем на звичайних шаблонах порівняно з подібними оцінками точності методу сіток розв’язку рівнянь еліптичного типу показник швидкості збіжності для рівнянь гіперболічного типу на одиницю менший, що узгоджується з [59]. Приведено оцінку для схеми підвищеного порядку точності (похибка апроксимації якої для гладких розв’язків) для неортогонального семиточкового шаблона. Знайдено також оцінку для схеми на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі.

Проте, не треба забувати, що алгоритми розв’язування задач за допомогою різницевих схем потребують поєднання методів побудови дискретних аналогів задач та методів їх розв’язування. Тому у Розділі ІІІ (§§6–7) пропонується метод неповної редукції знаходження розв’язків різницевих задач на неортогональному семиточковому шаблоні. Послідовно розглядаються методи знаходження розв’язків еліптичних рівнянь: розвинення у подвійну суму Фур’є, метод неповної редукції для рівняння Пуассона, а також пропонується метод знаходження розв’язків періодичної крайової задачі, оснований на перетвореннях Гартлі. Перетворення Гартлі, теорія якого детально розроблена Р.Брейсвеллом [6] (див. також [12], [13], [52], [53]), позбавлене деяких недоліків, властивих перетворенню Фур’є. У той час коли перетворення Фур’є відображають дійсні функції у комплексну площину та несиметричні за i=, перетворення Гартлі здійснює пряме і зворотнє перетворення лише у дійсній площині та має таку симетрію. У цьому параграфі метод неповної редукції адаптується для знаходження розв’язків неявної різницевої схеми для рівняння гіперболічного типу. Пропонується факторизація неявної схеми на семиточковому шаблоні і досліджується стійкість такої факторизації. Досліджуються також дисперсійні властивості неявної та факторизованої різницевих схем. Доводиться, що дисперсійні властивості факторизованої схеми (з найпростішим реґуляризатором типу «хрест») майже не погіршуються порівняно з дисперсійними властивостями просто неявної схеми. Це дозволяє побудувати на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки (на відміну від трикутної) метод знаходження розв’язків, що використовує кількість операцій пропорційну кількості вузлів сітки. Тобто перехід на прямокутну сітку, дозволяє без погіршення дисперсійних властивостей побудувати прямі алгоритми знаходження розв’язків, що майже у два рази ефективніші за алгоритми для схем на симетричних трикутних сітках (роботи [27], [28], див. заув. 3.3) та мають однакову ефективність з схемами на несиметричних трикутних сітках (роботи [16], [17], див. заув. 6.6).

Робота завершується результатами чисельних розрахунків §7, в яких приведено два тести, що підтверджують теоретичні викладки попередніх розділів.