0cm

УДК 519.21

А.Ю.Пилипенко (Киевский университет)

О существовании и единственности решения линейного стохастического дифференциального уравнения по логарифмическому процессу^{1}

Conditions for existence and uniqueness of linear stochastic differential equation with respect to the logarythmic process are studied. Partial differential equations for conditinal expectation of solution are obtained.

Розглянуте питання про iснування i �динiсть розв’язку лiнiйного стохастичного диференцiального рiвняння по логарифмiчному процесу. Для умовного математичного сподiвання розв’язка по лiнiйнiй скiнченновимiрнiй σ-алгебрi одержано диференцiальне рiвняння в часткових похiдних.

Основные обозначения и определения.

Введем следующие обозначения: X = C_{0}([0, 1]) = {x ∈ C_{([0,1])} : x(0) = 0} – банахово пространство с равномерной нормой; H = L_{2}([0, 1]) – гильбертово пространство с обычным скалярным произведением; i : H → X, i :

f ↦ ∫_{0}^{·} f(s)ds; X^{∗} ⊂^{i^{∗}} H^{∗} = H ⊂^{i} X – каноническое вложение; если не будет возникать недоразумений,то элементы h ∈ X^{∗}, i^{∗}h ∈ H и ii^{∗}h ∈ X отождествляются; < ·, · > – спаривание элементов X^{∗} и X или H и H; μ – мера на X, дифференцируемая вдоль H[2], λ – логарифмическая производная.

Далее предполагается, что λ удовлетворяет условию

А: для любых h ∈ H, p ≥ 1 :< λ, h >∈ L_{p}(X, μ).

S – пространство функций вида f(·) = F (< h_{1}, · >, …, < h_{n}, · >), где n ∈ ℕ, h_{k} ∈ X^{∗}, F ∈ C_{b}^{∞}(ℝ^{n}), C_{b}^{∞}(ℝ^{n}) – пространство бесконечно дифференцируемых функций из ℝ^{n} в ℝ, ограниченных со своей производной

∇ : S ⊂ L_{p}(X, μ) → L_{p}(X, μ, H),

∇f = ∑_{k=1}^{n} \frac{∂F}{∂x_{k}} h_{k}.

1Частично поддержана Международной Соросовской программой поддержки образования в области точных наук (ISSEP) (грант N PSU061084).

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}А.Ю.Пилипенко, 1997.

При выполнении условия А оператор ∇ допускает замыкание D с областью определения W_{p}^{1} = W_{p}^{1}(X, μ). Назовем оператор D стохастической производной, а сопряженный к нему оператор I = D^{∗} : D_{q} = D_{q}(X, μ) ⊂ L_{q}(X, μ, H) → L_{q}(X, μ), \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 – расширенным стохастическим интегралом.

Отметим, что для любого h ∈ X^{∗} h принадлежит D_{q}, причем

Ih = − < λ, h > .

Положим m(t) = I(χ_{[0,t]}).

Интеграл Ix, по аналогии с гауссовским случаем, будем обозначать ∫_{0}^{1} x(t)dm(t). Под ∫_{0}^{t} x(s)dm(s) понимается ∫_{0}^{1} χ_{[0,t]}(s)x(s)dm(s).

Примеры. 1. Пусть μ_{0} – распределение винеровского процесса w(t) в C_{0}([0, 1]).

Тогда логарифмическая производная λ_{0} меры μ_{0} в направлении h ∈ H равна

< λ_{0}, h >= − ∫_{0}^{1} h(t)dw(t),
m(t) = w(t).

Оператор I совпадает с расширенным стохастическим интегралом Скорохода.

2. μ(dx) = e^{\frac{w^{2}(1)}{2}} \sqrt{2}μ_{0}(dx), μ_{0} – распределение винеровского процесса w(t).

Тогда m(t) = w(t) − \sqrt{2}w(1)t,

∫_{0}^{1} x(t)dm(t) = ∫_{0}^{1} x(t)dw(t) − \sqrt{2}w(1) ∫_{0}^{1} x(t)dt, x ∈ D_{q}(X, μ)

(∫_{0}^{1} x(t)dw(t) – интеграл Скорохода).

Пусть E(s, t) удовлетворяет уравнению

\begin{cases}dE(s, t) = E(s, t)dm(t), t ≥ s, \\ E(s, s) = 1. \end{cases}

Как показано в [2]:

E(s, t) = exp(m(t) − m(s) − \frac{1}{2}(t − s) − \frac{1}{\sqrt{2}}(t − s)^{2}).

Отметим, что в данной ситуации стохастическая экспонента не имеет свойства мультипликативности, т.е. для s < τ < t равенство

E(s, t) = E(s, τ) · E(τ, t)

не выполняется.

Как показывает пример 2, процесс m(t) не всегда является мартингалом, поэтому говорить о неупреждаемости x_{0} не имеет смысла, в отличие от ситуации интеграла Ито по квадратически интегрируемому мартингалу.

Вопросы существования и единственности уравнения (1) рассматривались в работах [2,3] в случае, когда логарифмическая производная является аналитической функцией. Винеровский случай рассмотрен в [4].

1.Фильтрация решения линейного стохастического дифференциального уравнения. Пусть {h_{n}|n ≥ 1} ⊂ X^{∗} – некоторый ортонормированный базис в H. Обозначим η_{k} =< h_{k}, · >, σ_{n} = σ(η_{1}, …, η_{n}), E^{σ_{n}} = E(·|σ_{n}) – условное математическое ожидание.

Предположим, что выполняется следующее условие

В. Для любого m ≥ 1 распределение η_{1}, …, η_{m} в ℝ^{m} имеет непрерывную и положительную плотность.

Если x(t) ∈ L_{p}(X, μ, H), то существует борелевская функция F_{n} : [0, 1] × ℝ^{n} → ℝ такая, что

E^{σ_{n}}x(t) = F_{n}(t, η_{1}, …, η_{n}) = F_{n}(t, η).

Теорема 1. Пусть x(t), t ∈ [0, 1] – решение (1)

\begin{cases}dx(t) = a(t)x(t)dt + b(t)x(t)dm(t) \\ x(0) = x_{0}, \end{cases}  (1)

где a, b ∈ C([0, 1]) – неслучайные функции, x_{0} – случайная величина,

такое, что

∃p_{1} > 1∀t ∈ [0, 1] x(·)b(·)χ_{[0,t]}(·) ∈ D_{p_{1}},
∃p_{2} > 1∀t ∈ [0, 1] x(t) ∈ W_{p_{2}}^{1}, ∫_{0}^{1} ∥x(t)∥_{W_{p_{2}}^{1}}^{p_{2}}dt < +∞

и выполняются условия А иВ.

Тогда условное математическое ожидание E^{σ_{n}}x(t) = F_{n}(t, η) удовлетворяет уравнению

F_{n}(t, η) = F_{0,n}(η) − ∑_{k=1}^{n} ∫_{0}^{t} b(s)h_{k}(s)\frac{∂F}{∂x_{k}} (s, η)ds+

+ ∫_{0}^{t}(a(s) − ∑_{k=1}^{n} b(s)h_{k}(s)λ_{k}^{(n)}(η))F (s, η)ds,  (2)

где λ_{k}^{(n)}(η) = E^{σ_{n}} < λ, h_{k} >, F_{0,n}(η) = E^{σ_{n}}x(t), \frac{∂}{∂x_{k}} – производные Соболева, построенные в пространстве ℝ^{n} с мерой μ ∘ η^{−1}. Равенство (1) выполнено для всех t ∈ [0, 1] μ-п.н.

Для доказательства понадобятся следующие вспомогательные утверждения [5].

Лемма 1. а) Если G ∈ D_{α}, α > 1, то

E^{σ_{n}}IG = I(E^{σ_{n}}Π_{n}G)+ < −E^{σ_{n}}Π_{n}λ + Π_{n}λ, Π_{n}E^{σ_{n}}G >,  (3)

причем E^{σ_{n}}Π_{n}G ∈ D_{α−} = ⋂_{β<α} D_{β}.

Здесь Π_{n} – ортопроектор в H на L(h_{1}, …, h_{n}).

b) Если F ∈ W_{α}^{1}, α > 1, то E^{σ_{n}}F ∈ W_{α−}^{1},

DE^{σ_{n}}F = E^{σ_{n}}Π_{n}DF + E^{σ_{n}}F E^{σ_{n}}Π_{n}λ − E^{σ_{n}}(F Π_{n}λ).

Лемма 2. а) Если F ∈ W_{p_{1}}^{1}, G ∈ D_{p_{2}}, \frac{p_{1}p_{2}}{p_{1}+p_{2}} ≥ 1, то F G ∈ D_{\frac{p_{1}p_{2}}{p_{1}+p_{2}}} и

I(F G) = F I(G)− < DF, G >;

b) Если φ : ℝ^{n} → ℝ принадлежит пространству Соболева, W_{p_{1}}^{1}(ℝ^{n}, μ ∘ F^{−1}), где F = (F_{1}, …, F_{n}), F_{k} ∈ W_{p_{1}}^{1}(X, μ), \frac{p_{1}p_{2}}{p_{1}+p_{2}} ≥ 1, то

φ(F_{1}, …, F_{n}) ∈ W 1_{\frac{p_{1}p_{2}}{p_{1}+p_{2}}} (X, μ) и

D(φ ∘ F) = ∑_{k=1}^{n} \frac{∂φ}{∂x_{k}} (F)DF_{k}.

Замечание. Используя лемму 1b), нетрудно показать, что φ∘η ∈ W_{p_{1}}^{1}(X, μ), p > 1 тогда и только тогда, когда φ ∈ W_{p}^{1}(ℝ^{n}, μ ∘ η^{−1}).

Доказательство теоремы 1. Применяя (3) к уравнению (1), получаем

E^{σ_{n}}x(t) = F_{n}(t, η) = F_{0,n}(η) + ∫_{0}^{t} a(s)F (s, η)ds+
+ ∫_{0}^{1} Π_{n}(χ_{[0,t]}(s)b(s)F_{n}(s, η))dm(s)+
+ < Π_{n}λ − E^{σ_{n}}Π_{n}λ, Π_{n}(χ_{[0,t]}(·)b(·)F (·, η)) >=

= F_{0,n}(η) + ∫_{0}^{t} a(s)F_{n}(s, η)ds + ∫_{0}^{1} ∑_{k=1}^{n} (∫_{0}^{t} b(z)F_{n}(z, η)h_{k}(z)dz) h_{k}(s)dm(s)+

+ < Π_{n}λ − E^{σ_{n}}Π_{n}λ, ∑_{k=1}^{n} (∫_{0}^{t} b(z)h_{k}(z)F_{n}(z, η)dz) h_{k} > .  (4)

Воспользуемся леммой 2, замечанием к ней и тем, что < λ, h_{k} >= −Ih_{k}.

Тогда

F_{n}(t, η) = F_{0,n}(η)+∫_{0}^{t} a(s)F_{n}(s, η)ds−∑_{k=1}^{n}(∫_{0}^{t} b(z)F_{n}(z, η)h_{k}(z)dz) < λ, h_{k} > −

− ∑_{k=1}^{n} < D (∫_{0}^{t} h_{k}(z)b(z)F_{n}(z, η)dz) , h_{k} > +

+ < Π_{n}λ − E^{σ_{n}}Π_{n}λ, Π_{n}(χ_{[0,t]}(·)b(·)F_{n}(·, η)) >=

= F_{0,n}(η) + ∫_{0}^{t} a(s)F_{n}(s, η)ds − ∑_{k=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} ∫_{0}^{t} h_{k}(z)b(z)\frac{∂F_{n}}{∂x_{j}}(z, η)dz < h_{j}, h_{k} > −

− < E^{σ_{n}}Π_{n}λ, Π_{n}(χ_{[0,t]}(·)b(·)F_{n}(·, η)) >=

= F_{0,n}(η) + ∫_{0}^{t}(a(s) − ∑_{k=1}^{n} b(s)h_{k}(s)λ_{k}^{(n)}(η))F_{n}(s, η)ds−

− ∑_{k=1}^{n} ∫_{0}^{t} b(s)h_{k}(s)\frac{∂F_{n}}{∂x_{k}}(s, η)ds,  (5)

что и требовалось доказать.

Теорема 1 доказана.

2. Единственность решения линейного стохастического дифференциального уравнения. Пусть x(t) – решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям теоремы 1. Тогда x(t) можно приблизить условными математическими ожиданиями E^{σ_{n}}x(t) = F_{n}(t, η_{1}, …, η_{n}), для которых выполняется (2):

Запишем дифференциальное уравнение с частными производными, соответствующее (2).

\begin{cases}\frac{∂F_{n}}{∂t} = − ∑_{k=1}^{n} b(t)h_{k}(t)\frac{∂F_{n}}{∂x_{k}} + (a(t) − ∑_{k=1}^{n} b(t)h_{k}(t)λ_{k}^{(n)}(x))F_{n}, \\ F_{n}(0, x) = F_{0,n}(x), \end{cases}  (6)

где t ∈ [0, 1], x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n}.

Если функции F_{n}, F_{0,n}, λ_{k}^{(n)} гладкие, то \frac{∂}{∂x_{k}} – обычная частная производная и (6) имеет единственное решение, которое можно получить используя метод характеристик [6]. Таким образом, для доказательства единственности решения (1) достаточно гарантировать гладкость функций F_{0,n}, F_{n}, λ_{k}^{(n)}.

Обозначим через M совокупность процессов x(t), t ∈ [0, 1], удовлетворяющих условиям

∀p > 1 ∀t ∈ [0, 1] x(t) ∈ W_{p}^{3} ∫_{0}^{1} ∥x(t)∥_{W_{p}^{3}}^{p}dt < +∞,  (7)
∃p > 1 ∀t ∈ [0, 1] χ_{[0,t]}(·)b(·)x(·) ∈ D_{p}.  (8)

Теорема 2. Пусть выполняются условия А и В и < λ, h >∈ W_{p}^{2} для любых p > 1, h ∈ H, x ∈ M – решение (1).

Тогда x – единственное решение из класса M. Лемма 3 [7, с.74]. Если Ω ⊂ ℝ^{n} ограниченная область, звездная относи-

тельно некоторого шара, φ ∈ W_{p}^{l}(Ω), n < lp; p > 1, то существует φ̃ = φ п.н., φ ∈ C(Ω).

Доказательство теоремы 2. F_{n} удовлетворяет уравнению

F_{n}(t, x) = F_{0,n}(x) − ∑_{k=1}^{n} ∫_{0}^{t} b(s)h_{k}(s)\frac{∂F_{n}}{∂x_{k}}(s, x)ds+

+ ∫_{0}^{t}(a(s) − ∑_{k=1}^{n} b(s)h_{k}(s)λ_{k}^{(n)}(x))F_{n}(s, x)ds,  (9)

где \frac{∂}{∂x_{k}} – производные Соболева.

Из лемм 1b, 3 и (7) следует, что F, \frac{∂F}{∂x_{k}}, \frac{∂^{2}F}{∂x_{k}∂x_{j}} принадлежат пространству W_{p}^{1}([0, 1] × ℝ^{n}, dt × μ ∘ η^{−1}) для любого p ≥ 1 и, значит, F – непрерывна на [0, 1] × ℝ^{n}.

Дифференцируя (9) по \frac{∂}{∂x_{k}}, получаем \frac{∂F_{n}}{∂x_{k}} ∈ C([0, 1] × ℝ^{n}) (λ_{k}^{(n)} ∈ C_{[0,1]}^{1} × ℝ^{n} по аналогичным соображениям). Следовательно,

\frac{∂F_{n}}{∂t} = − ∑_{k=1}^{n} b(t)h_{k}(t)\frac{∂F_{n}}{∂x_{k}} + (a(t) − ∑_{k=1}^{n} b(t)h_{k}(t)λ_{k}^{(n)}(x))F_{n}

– непрерывная функция на [0, 1] × ℝ^{n}.

Локальное решение (6) в классе непрерывно дифференцируемых функций единственно [6].

Запишем уравнения характеристик

\frac{dt}{1} = \frac{dx_{k}}{b(t)h_{k}(t)}.

Характеристики равны

c_{k} = x_{k} − ∫_{0}^{t} b(s)h_{k}(s)ds.  (10)

Тогда уравнение для F_{n} примет вид

\frac{dF_{n}}{F_{n}} = [a(t) − ∑_{k=1}^{n} b(t)h_{k}(t)λ_{k}^{(n)} (c_{1} + ∫_{0}^{t} b(s)h_{1}(s)ds, …, c_{n} + ∫_{0}^{t} b(s)h_{n}(s)ds)] dt.

Следовательно, решением (4) будет функция

F_{n}(t, x) = F_{0,n} (x_{1} − ∫_{0}^{t} b(s)h_{1}(s)ds, …, x_{n} − ∫_{0}^{t} b(s)h_{n}(s)ds) ·

· exp {∫_{0}^{t}(a(s) − ∑_{k=1}^{n} b(s)h_{k}(s)λ_{k}^{(n)}(x_{1} − ∫_{s}^{t} b(z)h_{1}(z)dz, …,

…, x_{n} − ∫_{s}^{t} b(s)h_{n}(z)dz))ds} .  (11)

Из общего вида характеристик (10) следует, что локальное решение единственным образом продолжается до глобального решения, которое задается формулой (11).

Таким образом,

E^{σ_{n}}x(t) = F_{n}(t, η_{1}, …, η_{n}) =

= F_{0,n}(η_{1} − ∫_{0}^{t} b(s)h_{1}(s)ds, …, η_{n} − ∫_{0}^{t} b(s)h_{n}(s)ds)·

· exp {∫_{0}^{t}[a(s) − ∑_{k=1}^{n} b(s)h_{k}(s)λ_{k}^{(n)}(η_{1} − ∫_{s}^{t} b(z)h_{1}(z)dz, …,

…, η_{n} − ∫_{s}^{t} b(z)h_{n}(z)dz)]ds} .  (12)

E^{σ_{n}}x(t) сходится к x(t) при n → ∞ в L_{1}(X, μ), откуда и следует единственность решения.

Теорема 2 доказана.

3. Существование решения. Пусть μ(dx) = ρ(x)μ_{0}(dx), где μ_{0} – винеровская мера на C_{0}([0, 1]), функция ρ дифференцируема вдоль H, и существуют константы C_{1}, C_{2}, C_{3}, такие, что

0 < C_{1} < ρ < C_{2} < +∞, mbox∥Dρ∥ ≤ C_{3} μ п.н.

Тогда

< λ, h >=< λ_{0}, h > + < \frac{Dρ}{ρ}, h >,  (13)

где < λ_{0}, h >= − ∫_{0}^{1} h(s)dw(s) – логарифмическая производная μ_{0},

m(t) = − ∫_{0}^{t} \frac{D_{s}ρ}{ρ}ds + w(t),  (14)

∫_{0}^{1} x(t)dm(t) = − ∫_{0}^{1} x(s)\frac{D_{s}ρ}{ρ}ds + ∫_{0}^{1} x(t)dw(t).

Здесь ∫_{0}^{1} x(t)dw(t) – расширенный стохастический интеграл Скорохода. Доказательство (13) и (14) см.,например, в [2]. Отметим, что сходимость в L_{p}(X, μ) и L_{p}(X, μ_{0}) эквивалентна, поэтому

W_{p}^{1}(X, μ) = W_{p}^{1}(X, μ_{0}), а из ограниченности Dρ следует, что D_{q}(X, μ) = D_{q}(X, μ_{0}).

Таким образом, уравнение (1) можно рассматривать как упреждающее уравнение по винеровскому процессу.

Теорема 3 является иллюстрацией применения теоремы 1 для построения решения (1), которое получается предельным переходом в (12).

Теорема 3. Пусть мера μ(dx) = ρ(x)μ_{0}(dx) удовлетворяет условиям А и В, где μ_{0} – винеровская мера на C_{0}([0, 1]), а для ρ выполняются следующие условия:

∃C_{1}, C_{2} : 0 < C_{1} ≤ ρ ≤ C_{2} < +∞ μ п.н.
∀α ≥ 1 ρ ∈ W_{α}^{2},
∀α ≥ 1 ∫_{X} ∫_{0}^{1} exp{αD_{s}p}dsdμ < +∞.  (15)

Если x_{0} ∈ W_{p}^{1} для любого p > 1, то уравнение (1) имеет решение, представимое в виде

x(t) = T_{0,t}x_{0} · exp{∫_{0}^{t} a(s)ds + ∫_{0}^{t} b(s)dw(s)−
−\frac{1}{2} ∫_{0}^{t} b^{2}(s)ds − ∫_{0}^{t} T_{s,t}(\frac{D_{s}ρ}{ρ})ds\}.  (16)

Здесь w(t) = ∑_{k=1}^{∞} < λ_{0}, h_{k} > ∫_{0}^{t} h_{k}(s)ds – винеровский процесс в пространстве (C_{0}([0, 1]), μ_{0}), а оператор T_{s,t} действует следующим образом:

T_{s,t}(α(x, s)) = α(x − i(χ_{[s,t]}(·)b(·)), s),

где α – случайный процесс в C_{0}([0, 1]).

Проверим, что T_{s,t} ограниченный оператор, действующий из L_{p_{2}}([0, 1] × X, dt ⊗ μ) в L_{p_{1}}([0, 1] × X, dt ⊗ μ), где p_{2} > p_{1} > 1.

Действительно, пусть α ∈ L_{p_{2}}([0, 1] × X, dt ⊗ μ). Тогда

∫_{0}^{1} ∫_{X} |T_{s,t}α(ω, s)|^{p_{1}}μ(dω)ds = ∫_{0}^{1} ∫_{X} |α(ω + i(χ_{[s,t]}(·)b(·)), s)|^{p_{1}}μ(dω)ds =

= ∫_{0}^{1} ∫_{X} |α(ω, s)|^{p_{1}}μ(dω − i(χ_{[s,t]}(·)b(·))ds ≤

≤ (∫_{0}^{1} ∫_{X} |α(ω, s)|^{p_{2}}μ(dω)ds)^{\frac{p_{1}}{p_{2}}} ·(∫_{0}^{1} ∫_{X} (\frac{dμ(· − i(χ_{[s,t]}b))}{dμ})^{\frac{p_{2}}{p_{2}−p_{1}}} μ(dω)ds)^{\frac{p_{2}−p_{1}}{p_{2}}} .

(17)

Второй множитель в (17) конечен из-за вида меры μ.

Аналогично получаем, что оператор T_{0,t} : α(ω) ↦ α(ω+i(χ_{[0,t]}b)) ограничен, как оператор из L_{p_{2}}(X, μ) в L_{p_{1}}(X, μ), p_{2} > p_{1} > 1.

Покажем, что x(t) – решение (1) можно получить как предел последовательности x_{n}(t) = F_{n}(t, η_{1}, …, η_{n}) из (12). Для этого проверим, что предел x_{n}(t) существует в любом L_{p}(X, μ), где p > 1.

Последовательность x_{n}(t) можно записать в виде

x_{n}(t) = T_{0,t}(E^{σ_{n}}x_{0}) · exp {∫_{0}^{t}[a(s) − b(s)T_{s,t}(E^{σ_{n}}Π_{n}λ)]ds} .  (18)

Из ограниченности T_{0,t} : L_{p_{2}} → L_{p_{1}}, p_{2} > p_{1} следует, что

T_{0,t}(E^{σ_{n}}x_{0}) → T_{0,t}x_{0} в любом L_{p}(X, μ), p > 1.

Используя (13), получаем

exp {− ∫_{0}^{t} b(s)T_{s,t}(E^{σ_{n}}Π_{n}λ)ds} =

= exp \{− ∫_{0}^{t} b(s)T_{s,t}E^{σ_{n}}(∑_{k=1}^{n} − < λ_{0}, h_{k} > h_{k}(s) − Π_{n} \frac{D_{s}ρ}{ρ})ds\} =

= exp \{− ∫_{0}^{t} b(s) ∑_{k=1}^{n} (< −λ_{0}, h_{k} > + ∫_{s}^{t} b(z)h_{k}(z)dz) h_{k}(s) − T_{s,t}(E^{σ_{n}}Π_{n} \frac{D_{s}ρ}{ρ})ds\} .

Для установления последнего равенства воспользовались тем, что < λ_{0}, h_{k} > измеримо относительно σ_{n}. При этом имеем

exp{∫_{0}^{t} b(s) ∑_{k=1}^{n} < λ_{0}, h_{k} > h_{k}(s)ds} ⟶_{n→∞} exp{∫_{0}^{t} b(s)dw(s)}

в пространстве L_{p}(X, μ_{0}), а значит и в L_{p}(X, μ) .

∫_{0}^{t} b(s) ∑_{k=1}^{n} ∫_{s}^{t} b(z)h_{k}(z)dzh_{k}(s)ds = \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{n} ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{t} b(s)b(z)h_{k}(s)h_{k}(z)dsdz =

= \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{n} < bχ_{[0,t]}, h_{k} >^{2} ⟶_{n→∞} \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} b^{2}(s)ds.

Для доказательства существования предела x_{n} в L_{p}(X, μ), p ≥ 1 остается проверить сходимость

exp \{∫_{0}^{t} −T_{s,t} (E^{σ_{n}}Π_{n} \frac{Dρ}{ρ}) ds\} ⟶_{n→∞} exp \{∫_{0}^{t} (−T_{s,t} \frac{Dρ}{ρ}) ds\} вL_{p}(X, μ), p ≥ 1.

Эта сходимость имеет место из-за сходимости по вероятности, а условие (15) гарантирует равномерную интегрируемость в L_{p}(X, μ).

Заметим, что x_{n}(t) ∈ W_{p}^{1}, p ≥ 1, и удовлетворяют уравнению (5), где F_{n}(t, η) = x_{n}(t).

Проведя рассуждения, при которых из (4) получили (5), в обратном порядке, получим, что x_{n}(t) удовлетворяет уравнению

x_{n}(t) − E^{σ_{n}}x_{0} − ∫_{0}^{t} a(s)x_{n}(s)ds+ < Π_{n}λ − E^{σ_{n}}Π_{n}λ, Π_{n}(χ_{[0,t]}bx_{n}) >=
= ∫_{0}^{1} Π_{n}(χ_{[0,t]}(s)b(s)x_{n}(s))dm(s).  (19)

Предел в левой части (19) существует в любом L_{p}(X, μ), p ≥ 1 и равен x(t) − x_{0} − ∫_{0}^{t} a(s)x(s)ds. Значит существует предел и в правой части.

Из замкнутости оператора I вытекает, что b(·)χ_{[0,t]}(·)x(·) ∈ D_{p}, p ≥ 1 и x(t) удовлетворяет (1).

Теорема 3 доказана.

(1) Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. I. Дифференцируемые меры// Тр.Моск. мат.о-ва. 1971. – N: 24.– с.133 – 174.

(2) Дороговцев А.А. Стохастические уравнения с упреждением. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996. – 152 с.

(3) Кулик О.М. Випадковi оператори та стохастичнi iнтегральнi рiвняння: Автореф.дис.канд.физ.-мат.наук, Ки�в, 1996. – 22 с.

(4) Buckdahn R., Anticipative Girsanov transformations and Skorohod stochastic differential equations// Mem. Amer.Math.Soc. – 1994. – \underline{111}, N: 533.– P. 1 – 88.

(5) Pilipenko A.Yu. Conditional analysis in non-Gaussian stochastic calculus. Theory of random processes (to appear).

(6) Курант Р., Уравнения с частными производными, М.: Мир, 1964.– 830 с.

(7) Соболев С.Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука,1988. – 336 с.