УДК 519.21

Свойства потоков, порожденных стохастическими уравнениями с отражением

Пилипенко А.Ю. (Институт математики НАН Украины, Киев)

В статье рассматриваются свойства случайного множества φ_{t}(ℝ_{+}^{d}), где φ_{t}(x) – решение стохастического дифференциального уравнения в ℝ_{+}^{d} с нормальным отражением от границы, стартующего их точки x. Проведена характеризация внутренних и граничных точек множества φ_{t}(ℝ_{+}^{d}). Доказано, что размерность Хаусдорфа границы ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) не превышает (d − 1).

Властивостi потокiв, що породженi стохастичними рiвняннями iз вiдбиттям

Пилипенко А.Ю. (Iнститут математики НАН Украини, Ки�в)

В статтi розглядаються властивостi випадково� множини φ_{t}(ℝ_{+}^{d}), де φ_{t}(x) – розв’язок стохастичного диференцiального рiвняння в ℝ_{+}^{d} з нормальним вiдбиттям вiд границi, що старту� iз точки x. Проведено характеризацiю внутрiшнiх та граничних точок множини φ_{t}(ℝ_{+}^{d}). Доведено, що розмiрнiсть Хаусдорфа межi ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) не перевищу� (d − 1).

Properties of flows generated by stochastic differential equations with reflection.

Pilipenko A.Yu. (Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Kiev)

Some properties of the random set φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) are studied, where φ_{t}(x) is a solution of a stochastic differential equation in ℝ_{+}^{d} with normal reflection on the boundary, starting at x. Inner and boundary points of the set φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) are characterized. It is proved that the Hausdorff dimension of the boundary ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) is not greater than (d − 1).

Пусть φ_{t}(x), t ∈ [0, T], x ∈ ℝ_{+}^{d} = ℝ^{d−1} × [0, ∞) – решение следующего стохастического уравнения с нормальным отражением от границы [1]:

\begin{cases}dφ_{t}(x) = a_{0}(φ_{t}(x))dt + ∑_{k=1}^{m} a_{k}(φ_{t}(x))dw_{k}(t)+ \\ +\overline{n}ξ(dt, x), t ∈ [0, T], \\ φ_{0}(x) = x, ξ(0, x) = 0, x ∈ ℝ_{+}^{d}, \end{cases}  (1)

где a_{k} : ℝ_{+}^{d} → ℝ^{d}, k = 0, …, m, {w_{k}(t), k = 1, …, m} – независимые винеровские процессы, \overline{n} = (0, …, 0, 1) – нормаль к гиперплоскости ℝ^{d−1} × \{0\}, ξ(t, x) – неубывающий по t процесс для любого фиксированного x ∈ ℝ_{+}^{d}, причем

ξ(t, x) = ∫_{0}^{t} 1I_{{φ_{s}(x)∈ℝ^{d−1}×{0}}}ξ(ds, x),

т.е. ξ(t, x) возрастает только в те моменты времени, когда φ_{t}(x) ∈ ℝ^{d−1} × {0}.

Предположим, что функции a_{k}, k = 0, …, m удовлетворяют условию Липшица. Несложно проверить (см.напр. [2]), что в этом случае существует единственное сильное решение уравнения (1), причем (φ_{t}(x), ξ(t, x)) имеет непрерывную по паре аргументов (t, x) модификацию. Далее будем считать что в качестве (φ, ξ) уже взята эта модификация.

Рассмотрим случайное множество φ_{t}(ℝ_{+}^{d}), которое занимают в момент времени t образы точек пространства ℝ_{+}^{d} при действии случайного отображения φ_{t}(·, ω) : ℝ_{+}^{d} → ℝ_{+}^{d}.

Цель статьи состоит в характеризации начальных значений из ℝ_{+}^{d}, которые попадают во внутренность или на границу множества φ_{t}(ℝ_{+}^{d}). Основной результат содержится в следующих двух теоремах.

Теорема 1. Для почти всех ω и всех t ∈ [0, T] размерность Хаусдорфа множества ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) – границы множества φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) не превышает d − 1.

Более того, для любого R > 0 мера Хаусдорфа H^{d−1} множества ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d})∩ {x ∈ ℝ_{+}^{d} : ∥x∥ ≤ R} конечна.

Замечание 1. Легко видеть, что если множество φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) содержит внутренние точки, то dim ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) не меньше (d − 1) – размерности проекции этого множества на ℝ^{d−1} × {0}. Т.е. в этом случае

dim ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) = d − 1.

Замечание 2. В конце статьи будет приведен пример ситуации, когда с положительной вероятностью имеет место строгое неравенство

dim ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) < d − 1.

Теорема 2. Для почти всех ω и всех t ∈ [0, T] имеет место равенство случайных множеств

∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) = φ_{t}(∂ℝ_{+}^{d}) = φ_{t}{x ∈ ℝ_{+}^{d} : τ(x) ≤ t},

где τ(x) = inf{s ≥ 0 : φ_{s}(x) ∈ ℝ^{d−1} × {0}} – момент попадания решения, стартующего из x, на гиперплоскость ℝ^{d−1} × {0}.

Доказательство теоремы 1. В [2] были получены следующие свойства φ_{t}(x) :

Теорема 3. Существует множество Ω_{0} вероятности 1 такое, что для всех ω ∈ Ω_{0} выполняется следующее:

1) для любых x, y ∈ ℝ_{+}^{d}, x ≠ y и t < max{τ(x), τ(y)} имеет место неравенство

φ_{t}(x) ≠ φ_{t}(y);

2) для любых x ∈ ℝ_{+}^{d} и ω ∈ Ω_{0}, таких, что τ(x, ω) < ∞ найдется y = y(x, ω) ∈ ℝ^{d−1} × {0}, такое что

φ_{τ(x)}(x) = φ_{τ(x)}(y),

причем φ_{t}(x) = φ_{t}(y) при t ≥ τ(x);

3) отображение φ_{t} : {x ∈ ℝ_{+}^{d} : t < τ(x)} → ℝ^{d}, является локальным гомеоморфизмом;

4) P ( lim\begin{matrix}∥x∥→∞ \\ x∈ℝ_{+}^{d} \end{matrix} inf_{t∈[0,T]} ∥φ_{t}(x)∥ = ∞) = 1.

Из данной теоремы следует, что множество {φ_{t}(x) : τ(x) > t} открыто, а множество {φ_{t}(x) : τ(x) ≤ t} содержится в φ_{t}(ℝ^{d−1} × {0}). Поэтому ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) ⊂ φ_{t}(ℝ^{d−1} × {0}) и для доказательства теоремы 1 достаточно установить, что для любого R > 0 имеет место неравенство (см. пункт 4) теоремы 3 ):

H^{d−1} (φ_{t}({x ∈ ℝ^{d−1} : ∥x∥ ≤ R} × {0})) < ∞.

Нам потребуется следующее утверждение [3].

Теорема 4. Предположим, что отображение f : ℝ^{n} → ℝ^{m}, n ≤ m принадлежит соболевскому пространству W_{p,loc}^{1} для некоторого p > n.

Пусть U ⊂ ℝ^{n} – произвольное ограниченное множество. Тогда H^{n}(f(U)) < ∞, где H^{n} – n-мерная мера Хаусдорфа в ℝ^{m}.

Замечание. Из теорем вложения Соболева вытекает существование непрерывной модификации функции f. Именно эта модификация рассматривается в теореме 4.

Таким образом, для доказательства теоремы 1 достаточно проверить, что отображение

ℝ^{d−1} ∋ \overline{u} → φ_{t}((\overline{u}, 0)) ∈ ℝ^{d}  (2)

принадлежит пространству ∩_{p>1} W_{p,loc}^{1}(ℝ^{d−1}, ℝ^{d}).

Замечание. В статье используются некоторые идеи Гл.4 [4], где доказано, что решение стохастического уравнения (без отражения) с липшицевыми коэффициентами в ℝ^{d} дифференцируемо по начальным данным почти наверное относительно меры Лебега. В частности, отсюда следует, что отображение {x ∈ ℝ_{+}^{d} : t < τ(x)} ∋ x → φ_{t}(x) ∈ ℝ^{d} принадлежит ∩_{p>1} W_{p,loc}^{1}({x ∈ ℝ_{+}^{d} : t < τ(x)}, ℝ^{d}). Однако (2) не следует непосредственно

из [4].

Рассмотрим аппроксимирующую последовательность процессов φ_{t}^{(ε)}(x), ε > 0, t ≥ 0, x ∈ ℝ^{d−1} × (0, ∞), удовлетворяющих следующим уравнениям:

\begin{cases}dφ_{t}^{(ε)}(x) = (a_{0}(φ_{t}^{(ε)}(x)) + g_{ε}(φ_{t}^{(ε)}(x)))dt + ∑_{k=1}^{m} a_{k}(φ_{t}^{(ε)}(x))dw_{k}(t), t ≥ 0, \\ φ_{0}^{(ε)}(x) = x, \end{cases}

где g_{ε}(x) = (0, …, 0, \frac{ψ(x_{d}/ε)}{x_{d}^{2}}), ψ ∈ C^{∞}((0, ∞)), ψ(x) = 0 при x ≥ 2, ψ(x) =

1 при x ≤ 1, ψ монотонно не возрастает.

Несложно проверить, что

P (∃t ≥ 0∃x ∈ ℝ^{d−1} × (0, ∞) : φ_{t}^{(ε)}(x) ∈ ℝ^{d−1} × {0}) = 0.

Лемма 1. Для любых x ∈ ℝ^{d−1} × (0, ∞), p > 1 и T > 0 имеет место сходимость

lim_{ε→0+} E sup_{t∈[0,T]} ∥φ_{t}^{(ε)}(x) − φ_{t}(x)∥^{p} = 0.  (3)

Замечание. Введение функции типа g_{ε} и доказательство сходимости φ_{t}^{(ε)} → φ_{t}, ε → 0 называется методом штрафов (penalization method), см. напр. [5, 6]. Мы приведем, однако, доказательство соответствующего утверждения, т.к. предположения леммы 1 несколько отличаются от условий, указанных работ.

Доказательство леммы 1. Докажем для любого x слабую сходимость распределений процессов φ_{.}^{(ε)}(x) к распределению φ_{.}(x) в пространстве C([0, T], ℝ^{d}).

Пусть h̃ ∈ C^{∞}(ℝ) – монотонная функция, такая что h̃(x) = 0 при x ≤ 1/2 и h̃(x) = x при x ≥ 1. Определим функцию h_{δ} : ℝ^{d} → ℝ^{d}, где δ > 0, следующим образом:

h_{δ}(x_{1}, …, x_{d}) = (x_{1}, …, x_{d−1}, h̃(\frac{x}{δ})).

Обозначим B_{r} := {x ∈ ℝ^{d−1} × (0, ∞) : ∥x∥ ≤ r.}

Доказательство следующей леммы носит стандартный характер и не приводится.

Лемма 2.

1) ∀p > 1 ∀r > 0 :

sup_{x∈B_{r}} ( sup_{ε∈(0,1]} E sup_{t∈[0,T]} ∥φ_{t}^{(ε)}(x)∥^{p} + E sup_{t∈[0,T]} ∥φ_{t}(x)∥^{p}) < ∞;  (4)

2) ∀x ∈ B_{r} ∀p > 1 ∀δ ∈ (0, 1] :

sup_{ε∈(0,δ/2]} E sup_{t∈[0,T]} ∥h_{δ}(φ_{t}^{(ε)}(x))∥^{p} < ∞;  (5)

3) ∀x ∈ B_{r} ∀p > 1 ∀δ ∈ (0, 1] ∃c > 0 ∀ε ∈ (0, δ/2] ∀s, t ∈ [0, T] :

E∥h_{δ}(φ_{t}^{(ε)}(x)) − h_{δ}(φ_{s}^{(ε)}(x))∥^{p} ≤ c|t − s|^{p/2}.  (6)

Пусть x фиксировано. Далее будем обозначать φ_{t}, φ_{t}^{(ε)} вместо φ_{t}(x), φ_{t}^{(ε)}(x). Из теоремы 12.2 [7] и (5), (6) следует, что для любого фиксированного δ >

0 распределение процессов {h_{δ}(φ_{·}^{ε})}_{ε∈(0,δ/2]} слабо относительно компактно. Поэтому

∀α > 0 ∃c > 0 ∀ε ∈ (0, \frac{δ}{2}] : sup_{ε∈(0,δ/2]} P ( sup_{t∈[0,T]} ∥h_{δ}(φ_{t}^{(ε)})∥ ≥ c) ≤ α;

и

∀α > 0∀β > 0∃η > 0∀ε ∈ (0, δ/2] : P ( sup_{|s−t|<η} ∥h_{δ}(φ_{t}^{(ε)})−h_{δ}(φ_{s}^{(ε)})∥ ≥ β) ≤ α.

Следовательно,

sup_{ε∈(0,δ/2]} P ( sup_{t∈[0,T]} ∥φ_{t}^{(ε)}∥ ≥ c + δ) ≤ α;

sup_{ε∈(0,δ/2]} P ( sup_{|s−t|<η} ∥φ_{t}^{(ε)} − φ_{s}^{(ε)}∥ ≥ β + δ) ≤ α.

Из произвольности выбора α, β, δ и теоремы 8.2 [7] следует слабая относительная компактность распределений последовательности {φ^{ε}}_{ε>0.}

Пусть ε_{k} → 0, k → ∞ такая последовательность, что {φ^{ε_{k}}} слабо сходится при k → ∞.

Из оценки (5) и липшицевости функций a_{0}, …, a_{m} вытекает также слабая относительная компактность распределений процессов

α_{t}^{k} := ∫_{0}^{t} a_{0}(φ_{s}^{ε_{k}})ds, β_{t}^{k} := ∑_{j=1}^{m} ∫_{0}^{t} a_{j}(φ_{s}^{ε_{k}})dw_{j}(s),

а следовательно, и

ξ_{t}^{k} := (φ_{t}^{(ε_{k})} − α_{t}^{k} − β_{t}^{k}, \overline{n}).

Без потери общности можно считать, что распределения процессов φ_{.}^{ε_{k}}, α_{.}^{k}, β_{.}^{k}, ξ_{.}^{k} слабо сходятся.

Из теоремы Скорохода (см. напр. [8]) следует существование единого вероятностного пространства и последовательности случайных процессов

ζ̃^{k} = (φ̃^{ε_{k}}, α̃^{k}, β̃^{k}, ξ̃^{k}, w_{1}^{k}, …, w_{m}^{k}, \overline{φ}^{k}, \overline{ξ}^{k})

такой, что

а) совместное распределение (φ̃^{(ε_{k})}, …, \overline{ξ}^{(k)}) совпадает с совместным распределением процессов (φ^{(ε_{k})}, α^{k}, β^{k}, ξ^{k}, w_{1}, …, w_{m}, φ, ξ);

б) ζ̃^{k} сходится (в пространстве непрерывных функций) почти наверное к некоторому предельному процессу ζ̃^{0} = (φ̃^{0}, α̃^{0}, β̃^{0}, ξ̃^{0}, w̃_{1}, …, w̃_{m}, \overline{φ}^{0}, \overline{ξ}^{0}).

Аналогично Теор.1 Гл.5 �2 [1] можно проверить, что

φ̃_{t}^{0} = x + ∫_{0}^{t} a_{0}(φ̃_{t}^{0})ds + ∑_{k=1}^{m} ∫_{0}^{t} a_{k}(φ̃_{s}^{0})dw̃_{k}(s) + \overline{n}ξ̃_{t}^{0}.  (7)

При этом ξ̃_{t}^{0} – неубывающий процесс как предел неубывающих процессов. Несложно также заметить, что

∫_{0}^{t} 1I_{{φ_{s}^{0}∈ℝ^{d−1}×{0}}}dξ̃_{s}^{0} = ξ̃_{t}^{0}, t ≥ 0.

Таким образом, пара (φ̃^{0}, ξ̃^{0}) является решением стохастического уравнения (7) с нормальным отражением. Из единственности решения следует, что φ̃^{0} = \overline{φ}^{0}, ξ̃^{0} = \overline{ξ}^{0}. Из (4) и сходимости φ̃^{(ε_{k})} → φ̃^{0} = \overline{φ}^{0}, \overline{φ}^{(ε_{k})} → \overline{φ}^{0} при k → ∞ следует, что

∀p > 1 E sup_{t∈[0,T]} ∥φ̃_{t}^{(ε_{k})} − \overline{φ}_{t}^{0}∥^{p} → 0, k → ∞,

∀p > 1 E sup_{t∈[0,T]} ∥\overline{φ}_{t}^{k} − \overline{φ}_{t}^{0}∥^{p} → 0, k → ∞.

Поэтому,

E sup_{t∈[0,T]} ∥φ_{t}^{(ε_{k})} − φ_{t}∥^{p} = E sup_{t∈[0,T]} ∥φ̃_{t}^{(ε_{k})} − \overline{φ}_{t}^{k}∥^{p} ≤

≤ 2^{p−1}E sup_{t∈[0,T]} (∥φ̃_{t}^{(ε_{k})} − \overline{φ}_{t}^{0}∥^{p} + ∥\overline{φ}_{t}^{k} − \overline{φ}_{t}^{0}∥^{p}) → 0, k → ∞.

Из произвольности выбора последовательности {ε_{k}} следует (3). Лемма 1 доказана.

Пусть \{a_{k}^{(ε)}\}_{ε>0,k=\overline{1,m}} – такая последовательность функций, что

1) a_{k}^{(ε)} ∈ C^{∞}(ℝ_{+}^{d}, ℝ^{d}), ε > 0, k = \overline{1, m};

2) a_{k}^{(ε)} равномерно сходится к a_{k} при ε → 0+;

3) \{a_{k}^{(ε)}\} удовлетворяет условию Липшица равномерно по ε > 0, k = \overline{1, m} :

∃L ∀x_{1}, x_{2} : ∥a_{k}^{(ε)}(x_{1}) − a_{k}^{(ε)}(x_{2})∥ ≤ L∥x_{1} − x_{2}∥.  (8)

Применяя леммы 1 и 2, рассуждения, аналогичные Теор.8, Гл.4 �1 [1] и диагональный метод Кантора выберем такие подпоследовательности {ε_{k}}, {δ_{k}}, что

∀R > 0 ∀p > 1 ∀x ∈ B_{R} : lim_{k→∞} E sup_{t∈[0,T]} ∥φ̂_{t}^{k}(x) − φ_{t}(x)∥^{p} = 0, (9)
sup_{x∈B_{R}} E sup_{t∈[0,T]} ∥φ̂_{t}^{k}(x)|^{p} < ∞,  (10)

где φ̂_{t}^{k} – решение уравнения

dφ̂_{t}^{k}(x) = (a_{0}^{(ε_{k})}(φ̂_{t}^{k}(x)) + g_{δ_{k}}(φ̂_{t}^{k}(x))) dt+
+ ∑_{k=1}^{m} a_{k}^{(ε_{k})}(φ̂_{t}^{k}(x))dw_{k}(t), t ≥ 0
φ̂_{0}^{k}(x) = x.

Случайный процесс φ̂_{t}^{k}(x) имеет модификацию, непрерывно дифференцируемую по x [9] (далее рассматриваем только эту модификацию), при этом производная y_{t}^{k}(x) := \frac{∂φ̂_{t}^{k}(x)}{∂x} удовлетворяет уравнению

\begin{cases}dy_{t}^{k}(x) & = (∇a_{0}^{(ε)}(φ̂_{t}^{k}(x)) + ∇g_{δ_{k}}(φ̂_{t}^{k}(x))y_{t}^{k}(x)dt+ \\ & + ∑_{k=1}^{m} ∇a_{k}^{(ε)}(φ̂_{t}^{k}(x))y_{t}^{k}(x)dw_{k}(t), \\ y_{0}^{k}(x) & = 1I, \end{cases}

где 1I – единичная d × d матрица.

Обозначим через ⟨·, ·⟩, ∥·∥ – скалярное произведение и норму Гильберта-Шмидта, соответственно, на пространстве d × d матриц.

Из того, что ψ′(x) ≤ 0 при x > 0 (см. определение функции g) следует, что

⟨∇g_{δ}(x)y, y⟩ ≤ 0  (11)

для любого x ∈ ℝ_{+}^{d} и любой матрицы y. Используя (11), несложно проверить, что

∀p > 1 ∃c = c(p, L) ∀x ∈ ℝ_{+}^{d} ∀t ∈ [0, T] ∀ε > 0 :

E sup_{s∈[0,t]} ∥y_{s}^{k}(x)∥^{p} ≤ d^{p/2} + c ∫_{0}^{t} E sup_{z∈[0,s]} ∥y_{z}^{k}(x)∥^{p}dz,

где L – константа Липшица из (8).

Следовательно,

sup_{ε>0} sup_{x∈ℝ_{+}^{d}} E sup_{t∈[0,T]} ∥∇φ̂_{t}^{k}(x)∥^{p} < ∞.  (12)

Нам понадобится следующая техническая лемма.

Лемма 3. Пусть U ⊂ ℝ^{k} – ограниченное открытое множество. Допустим, что последовательность измеримых случайных полей {ξ_{t}^{n}(x)}_{n≥1}, x ∈ U, t ∈ [0, T] удовлетворяет условиям:

1) для любого n ≥ 1 случайный процесс ξ_{t}^{n}(·), t ∈ [0, T] принимает значения в W_{p}^{1}(U, ℝ^{d}) и имеет непрерывные траектории (в W_{p}^{1});

2) sup_{n≥1} E sup_{t∈[0,T]} ∥ξ_{t}^{n}∥_{W_{p}^{1}} < ∞; 3) существует случайное поле ξ_{t}(x), t ∈ [0, T], x ∈ U такое, что

lim_{n→∞} E sup_{t∈[0,T]} ∫_{U} ∥ξ_{t}^{n}(x) − ξ_{t}(x)∥^{p}dx = 0.

Тогда процесс ξ_{t} принимает значения в W_{p}^{1}(U, ℝ^{d}), причем sup_{t∈[0,T]} ∥ξ_{t}∥_{W_{p}^{1}} является измеримым относительно пополнения исходной σ-алгебры множествами нулевой меры и

E sup_{t∈[0,T]} ∥ξ_{t}∥_{W_{p}^{1}} ≤ sup_{n} E sup_{t∈[0,T]} ∥ξ_{t}^{n}∥_{W_{p}^{1}}.

Доказательство. Заметим, что последовательность {∇ξ_{.}^{n}(·)}_{n≥1} ограничена в пространстве L_{p}(Ω×U ×[0, T], dP ×dx×dt) и, следовательно, слабо компактна. По теореме Банаха-Сакса [10], существует последовательность выпуклых линейных комбинаций η^{n} = ∑_{j=1}^{n} c_{n,j}ξ^{j} такая, что ∇η^{n} сходится в L_{p} к некоторому случайному элементу g. Без потери общности можно считать, что для п.в. t ∈ [0, T] (относительно меры Лебега) и п.в. ω ∈ Ω имеет место сходимость

η_{t}^{n}(·, ω) → ξ_{t}(·, ω) в L_{p}(U, ℝ^{d});
∇η_{t}^{n}(·, ω) → g_{t}(·, ω) в L_{p}(U, ℝ^{d×k}).

Следовательно, для этих t, ω :

ξ_{t}(·, ω) ∈ W_{p}^{1}(U, ℝ^{d}), ∇ξ_{t}(·, ω) = g_{t}(·, ω)

и

∥ξ_{t}(·, ω)∥_{W_{p}^{1}} = lim_{n→∞} ∥η_{t}^{n}(·, ω)∥_{W_{p}^{1}}.

Пусть Θ ⊂ [0, T], Ω_{0} ⊂ Ω – соответствующие множества полной меры, Θ̃ ⊂ Θ – счетное плотное подмножество. Тогда по лемме Фату

E sup_{t∈Θ̃} ∥ξ_{t}∥_{W_{p}^{1}} ≤ \underline{lim}_{n→∞} E sup_{t∈[0,T]} ∥η_{t}^{n}∥_{W_{p}^{1}} ≤ sup_{n≥1} E sup_{t∈[0,T]} ∥ξ_{t}^{n}∥_{W_{p}^{1}}.

Поскольку множество Θ̃ плотно в [0, T], и процесс ξ_{t}, t ∈ [0, T] имеет непрерывные траектории в L_{p} (см. условия 1),3) леммы), то аналогично предыдущим рассуждениям легко установить, что для всех ω из некоторого множества Ω_{1}, P (Ω_{1}) = 1 и всех t ∈ [0, T] имеет место включение ξ_{t}(·, ω) ∈ W_{p}^{1}(U, ℝ^{d}), причем

∥ξ_{t}(·, ω)∥_{W_{p}^{1}} ≤ sup_{s∈Θ̃} ∥ξ_{s}(·, ω)∥_{W_{p}^{1}} .

Откуда вытекает равенство sup_{t∈Θ̃} ∥ξ_{t}∥_{W_{p}^{1}} = sup_{t∈[0,T]} ∥ξ_{t}∥_{W_{p}^{1}} п.н., и следовательно, доказательство леммы 3.

Пусть R > 0, p > 1. Для x = (x_{1}, …, x_{d}) ∈ ℝ^{d} обозначим x̃ := (x_{1}, …, x_{d−1}). Пусть U_{R} = {x̃ ∈ ℝ^{d−1} : ∥x̃∥ < R}. Из (9), (10), (12) и леммы 3 вытекает, что для любого фиксированного x_{d} > 0 отображение

ℝ^{d−1} ⊃ U_{R} ∋ x̃ ↦ φ_{t}(x̃, x_{d}) ∈ ℝ^{d}

является элементом соболевского пространства W_{p}^{1}(U_{R}, ℝ^{d}) для п.в. ω и всех t ∈ [0, T], причем

sup_{x_{d}∈(0,1]} E sup_{t∈[0,T]} ∥φ_{t}(·, x_{d})∥_{W_{p}^{1}(U_{R},ℝ^{d})} < ∞.

Как уже упоминалось в начале статьи φ_{t}(x) п.н. непрерывен по x, поэтому из (4) имеем сходимость

∫_{U_{R}} ∥φ_{t}(x̃, x_{d}) − φ_{t}(x̃, 0)∥^{p}dx̃ → 0, x_{d} → 0 + .

Применяя лемму 3 еще раз, получим, что

∀R > 0 : E sup_{t∈[0,T]} ∥φ_{t}(·, 0)∥_{W_{p}^{1}(U_{R},ℝ^{d})} < ∞.

Используя результаты теорем 3, 4 получаем доказательство теоремы 1.

Замечание. Аналогично доказательству теоремы 1 несложно проверить, что отображение ℝ_{+}^{d} ∋ x → φ_{t}(x) ∈ ℝ^{d} принадлежит пространствам Соболева W_{p,loc}^{1}, p > 1 для всех t ≥ 0 с вероятностью 1.

Доказательство теоремы 2. Продолжим функции a_{k} : ℝ_{+}^{d} → ℝ^{d}, k = 0, …, m до липшицевых отображений, определенных на всем ℝ^{d} :

ã_{k}(x_{1}, …, x_{d−1}, x_{d}) := \begin{cases}a_{k}(x_{1}, …, x_{d}), x_{d} ≥ 0, \\ a_{k}(x_{1}, …, x_{d−1}, 0), x_{d} < 0. \end{cases}

Рассмотрим следующее стохастическое уравнения в ℝ^{d}

\begin{cases}dφ̃_{st}(x) = ã_{0}(φ̃_{st}(x))dt + ∑_{k=1}^{m} ã_{k}(φ̃_{st}(x))dw_{k}(t), t ≥ s, \\ φ̃_{ss}(x) = x, x ∈ ℝ^{d}. \end{cases}  (13)

Случайный процесс φ̃ имеет модификацию [9], непрерывную по (t, x), причем для любого ω ∈ Ω, t ≥ 0 :

отображение φ̃_{st} : ℝ^{d} → ℝ^{d} является гомеоморфизмом (14) Эта модификация и будет рассматриваться далее.

Из единственности решений (1) и (13), и непрерывности по (s, t, x) следует существование множества Ω_{0} полной меры такого, что

∀t ≥ 0 ∀ω ∈ Ω_{0} ∀x ∈ ℝ_{+}^{d}, τ(x) > t : φ_{t}(x, ω) = φ̃_{t}(x, ω)  (15),

где τ(x) = inf{s ≥ 0 : φ_{s}(x) ∈ ℝ^{d−1} × {0}}.

Пусть Ω_{1} – множество полной меры из теоремы 1 такое, что

∀ω ∈ Ω_{1} ∀t ≥ 0 : dim ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}, ω) ≤ d − 1.

Как было отмечено в начале доказательства теоремы 1, граница ∂φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) содержится в множестве φ_{t}(ℝ^{d−1} × {0}). Предположим противное к утверждению теоремы 2. Тогда найдутся ω ∈ Ω_{0} ∩ Ω_{1} и x ∈ ℝ^{d−1} × {0} такие, что точка φ_{t}(x, ω) является внутренней точкой множества φ_{t}(ℝ_{+}^{d}, ω).

Пусть U ⊂ φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) – открытое множество, содержащее φ_{t}(x) (ω сейчас фиксировано). Из (14) следует, что V = φ̃_{t}^{−1}(U) также открыто, причем множество A := U ∩ φ̃_{t} (V ∩ (ℝ^{d−1} × (−∞; 0)) открыто и не пусто.

Из теоремы 3 и (15) следует, что для любого y ∈ ℝ_{+}^{d} имеет место по крайней мере одно из утверждений

φ_{t}(y) = φ̃_{t}(y) или φ_{t}(y) ∈ φ_{t}(ℝ^{d−1} × {0}).

Но, φ̃_{t}(ℝ_{+}^{d}) ∩ φ̃_{t}(ℝ^{d−1} × (−∞; 0)) = ∅, поэтому A ⊂ φ_{t}(ℝ^{d−1} × {0}), что невозможно, т.к. dim A = d > d − 1 ≥ dim φ_{t}(ℝ^{d−1} × {0}).

Полученное противоречие доказывает теорему 2.

В следующем примере приведено уравнение, для которого с положительной вероятностью имеет место неравенство dim φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) < d − 1 (ср. с теоремой 1 и замечанием 1).

Пример. Пусть d = 3, S = {x ∈ ℝ_{+}^{3} : ∥x∥ = 1}. Выберем множество D ⊂ ℝ^{2} и биекцию g : S → D так, что:

1) D ограниченное выпуклое множество с гладкой границей;

2) граница ∂D содержит два перпендикулярных отрезка;

3) отображения g и g^{−1} дифференцируемы бесконечное число раз и имеют ограниченные производные любого порядка.

Пусть ψ_{t}(y), y ∈ D – броуновское движение в D, стартующее из точки y с нормальным отражением от границы:

ψ_{t}(y) = y + w_{t} + ∫_{0}^{t} \overline{ν}(ψ_{s}(y))η(ds, y),

12

где \overline{ν} – внутренняя нормаль к ∂D, η(t, y) не убывает по t при фиксирован-

ном y, η(0, y) = 0, ∫_{0}^{t} 1I_{{ψ_{s}(y)∈∂D}}η(ds, y) = η(t, y).

Рассмотрим процесс

φ_{t}(x) = ∥x∥g^{−1}(ψ_{t}(g(\frac{x}{∥x∥}))).  (16)

Заметим, что

∀r > 0 φ_{t}(x) = rφ_{t}(\frac{x}{r}), ∥φ_{t}(x)∥ = ∥x∥, ψ_{t}(g(\frac{x}{∥x∥})) = g(\frac{φ_{t}(x)}{∥φ_{t}(x)∥}).

(17)

Применив формулу Ито к представлению (16), а затем используя (17), заметим, что φ_{t}(x) удовлетворяет уравнению

dφ_{t}(x) = h_{1}(φ_{t}(x))dw_{t} + h_{2}(φ_{t}(x))dt + \overline{n}ξ(x, dt),

φ_{0}(x) = x, ξ(x, 0) = 0, ξ(x, t) = ∫_{0}^{t} 1I_{{φ_{s}(x)∈∂ℝ_{+}^{d}}}ξ(x, ds),

где h_{1}, h_{2} – некоторые липшицевы функции.

Известно, что если область D удовлетворяет сформулированным для нее условиям, то [11] для любого t > 0 с положительной вероятностью имеет место равенство

∀y_{1}, y_{2} ∈ D : ψ_{t}(y_{1}) = ψ_{t}(y_{2}).

Т.е. с положительной вероятностью случайное отображение ψ_{t} переводит все точки области D в одну. Следовательно, для соответствующих исходов множество φ_{t}(ℝ_{+}^{d}) является полупрямой и имеет размерность 1.

Список литературы

[1] Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения, К., "Наукова думка", 1982, 612 с.

[2] Pilipenko A.Yu. Flows generated by stochastic equations with reflection, Random Oper. and Stoch.Eq., (2004), 12, �4

[3] Calderon A.P. On the differentiability of absolutely continuous functions. Rivista Mat. Univ. Parma 2, (1951). 203–213.

[4] Bouleau N., Hirsch F. Dirichlet forms and analysis on Wiener space. de Gruyter Studies in Mathematics, 14. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1991. x+325 pp.

[5] Lions P.L., Menaldi J.-L., Sznitman A.-S. Construction de processus de diffusion re’fle’chis par pe’nalisation du domaine. (French) C. R. Acad. Sci. Paris Se’r. I Math. 292 (1981), no. 11, 559–562.

[6] Menaldi J.-L. Stochastic variational inequality for reflected diffusion. Indiana Univ. Math. J. 32 (1983), no. 5, 733–744.

[7] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.-351с.

[8] Kallenberg O. Foundations of modern probability. 2nd ed. 2002, Text.Monograph, Probability and Its Applications., New York, NY: Springer, 638 p.

[9] Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations, Cambridge studies in advanced mathematics,1990, 346 pp.

[10] Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, общая теория, ИЛ, М., 1962, 895 с.

[11] Cranston M., Le Jan Y. Noncoalescence for the Skorohod equation in a convex domain of R^{2}. Probab. Theory Related Fields 87 (1990), no. 2, 241–252.