Нелинейные преобразования гладких мер на бесконечномерных пространствах

А.М.Кулик, А.Ю.Пилипенко

Институт математики НАН Украины

Введение

Вопрос об абсолютной непрерывности образа меры на бесконечномерном пространстве при нелинейных преобразованиях имеет богатую историю. К одним из первых результатов в этой области следует отнести результат И.И.Гихмана и А.В.Скорохода о преобразовании мер на гильбертовом пространстве (см. [1], а также [2] гл.5, теорема 3). Полученная в указанной работе формула для плотности в частном случае меры на конечномерном пространстве является непосредственным следствием обычной формулы замены переменных. Применение этой формулы для получения бесконечномерных результатов предполагает приближение исходного преобразования конечномерными и доказательство сходимости последовательности соответствующих плотностей.

В наиболее общей и компактной форме условия, обеспечивающие такую сходимость, получены для преобразований гауссовской меры (см. [3], [4] и обзорную работу [5]). Для негауссовских мер имеющиеся результаты значительно слабее и обычно требуют выполнения сильных дополнительных предположений относительно структуры меры или отображения ( [2],[6],[7]). Ощутимые сложности возникают уже при попытке записать условия квазиинвариантности дифференцируемой меры, близкие к необходимым (см.обзор в [5]).

В настоящей работе получены общие условия на преобразование пространства, достаточные для абсолютной непрерывности образа негауссовской дифференцируемой меры. Основное предположение относительно исходной меры (условие B, п.2) хотя и несколько ограничительно, но, с одной стороны, легко проверяемо, и, с другой, обеспечивает выполнение моментных оценок, которые позволяют сделать предельный переход, и непосредственная проверка которых часто представляет значительные трудности.

Наряду с общими результатами получены результаты об абсолютной непрерывности образа меры для отображений, обладающих дополнительными структурными свойствами: неупреждающих (негауссовский аналог теоремы Гирсанова), монотонных, порожденных дифференциальным потоком. Последние применяются для реализации метода характеристик решения уравнений в частных производных первого порядка в бесконечномерном пространстве и линейных уравнений с расширенным стохастическим интегралом по исходной мере.

1. Гладкие меры и соболевские классы отображений на бесконечномерных пространствах.

Пусть X – вещественное сепарабельное банахово пространство, H – сепарабельное гильбертово пространство, вложенное в X непрерывным оператором j : H ↪ X, μ – вероятностная мера на борелевской σ-алгебре B(X), дифференцируемая вдоль направлений из jH [8]. Мы предполагаем, что логарифмическая производная {(ρ, h), h ∈ H} меры μ имеет слабый порядок p для произвольного p < +∞, то есть,

∀p ∈ ℝ^{+} ∃C_{p} < +∞ : ∫ |(ρ, h)|^{p}dμ ≤ C_{p}∥h∥_{H}^{p}, h ∈ H.  (1.1)

Определение 1.1. Стохастической производной D_{p,h} в направлении h ∈ H, где p ∈ (1, +∞) называется замыкание в пространстве L_{p}(X, μ) оператора

∇_{h} : f ↦ (∇f, jh),

определенного на множестве функций f, непрерывных и ограниченных вместе со своей производной Фреше ∇f.

В силу дифференцируемости меры μ такое замыкание корректно определено [5].

Определение 1.2. Функция f ∈ L_{p}(X, μ) принадлежит пространству Соболева W_{p}^{1}(X, μ), если

1) для произвольного h ∈ H определена производная D_{p,h}f;

2) существует случайный элемент g_{f} ∈ L_{p}(X, H, μ) такой, что

D_{p,h}f = (g_{f}, h)_{H} п.н., h ∈ H.

Элемент g_{f} называется стохастической производной функции f и обозначается D_{p}f. В тех случаях, когда это не будет вызывать недоразумений, мы будем опускать индекс p в выражениях D_{p,h}f и D_{p}f.

Стохастические производные

D_{h,p}^{E} : W_{p}^{1}(X, E, μ) ⊂ L_{p}(X, E, μ) → L_{p}(X, E, μ) и D_{p}^{E} : W_{p}^{1}(X, E, μ) ⊂ L_{p}(X, E, μ) → L_{p}(X, E⊗H, μ)

и пространства Соболева W_{p}^{1}(X, E, μ) для элементов, принимающих значения в сепарабельном гильбертовом пространстве E, определяются аналогично. Кратные стохастические производные и пространства Соболева более высоких степеней W_{p}^{n}(X, E, μ) определяются итеративно.

Определение 1.3. Сопряженный оператор

I_{p}^{E} = (D_{p}^{E})^{∗} : L_{q}(X, E ⊗ H, μ) → L_{q}(X, E, μ), \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

называется оператором стохастического интегрирования, или, расширенным стохастическим интегралом, по аналогии с расширенным стохастическим интегралом Скорохода по винеровскому процессу.

В область определения оператора I_{p}^{E} входят, в частности, элементы вида

g = ∑_{k=1}^{n} g_{k} ⊗ h_{k}, g_{k} ∈ W_{q′}^{1}(X, E, μ), h_{k} ∈ H, k = \overline{1, n}, q′ > q.  (1.2)

Для таких элементов

I_{p}^{E}(g) = − ∑_{k=1}^{n}(ρ, h_{k})g_{k} − ∑_{k=1}^{n}(D_{q′}^{E}g_{k}, h_{k})_{H}.  (1.3)

В случае E = ℝ будем писать I_{p}^{E} = I_{p}.

Определение 1.4. Функция f ∈ L_{∞}(X, E, μ) принадлежит классу W_{∞}^{k}(X, E, μ), k ≥ 1, если

1) f ∈ ∩_{p}W_{p}^{k}(X, E, μ);

2) функции f, Df, …, D^{k}f представляют собой существенно ограниченные случайные элементы со значениями в E, E ⊗ H, …, E ⊗ H^{⊗k} соответственно.

Определение 1.5. Функция f принадлежит классу W L_{∞}^{k}(X, E, μ), если f ∈ W_{∞}^{k}(X, E, μ) и для l = 0, …, k−1 существует модификация D̃^{l}f производной D^{l}f, липшицевая вдоль H, то есть такая, что

∥D̃^{l}f(x) − D̃^{l}f(y)∥_{E⊗H^{⊗l}} ≤ L_{l}∥x − y∥_{H}, x, y ∈ X.  (1.4)

Замечание 1. Функция, удовлетворяющая условию (1.4), принадлежит классу W_{∞}^{k}(X, E, μ). Проверим это для k = 1. Зафиксируем p ∈ ℝ^{+}, h ∈ H и покажем, что определена производная D_{p,h}f. Разложим пространство X в сумму X = X_{0} + ⟨jh⟩, такое разбиение индуцирует разложение μ = π_{0} ⊗ {μ_{x}, x ∈ X_{0}}, где π_{0} – проекция меры μ на X_{0}, {μ_{x}, x ∈ X_{0}} – семейство условных мер, сосредоточенных на прямых {x + tjh, t ∈ ℝ}. Согласно одномерной теореме Радемахера [9] , для π_{0}-п.в. x ∈ X_{0} определена производная D_{p,h}^{x}f сечения f|_{x+⟨jh⟩}, μ_{x}-п.н. ограниченная по норме ∥ · ∥_{E} константой L_{0}∥h∥_{H}. Отсюда получаем, что производная D_{p,h}f определена и п.н. ограничена по норме константой L_{0}∥h∥_{H}. Тогда (см.[10]) условие 2) определения 1.2 выполнено, то есть определена стохастическая производная D_{p}^{E}f и ∥D_{p}^{E}f∥_{E⊗H} ≤ L_{0} п.н. Повторяя это рассуждение, получаем справедливость требуемого утверждения для k ∈ ℕ.

Справедлива ли в общем случае обратная импликация, то есть совпадают ли классы W_{∞}^{k} и W L_{∞}^{k}, авторам неизвестно. В некоторых частных случаях возможно применить следующее рассуждение: для f ∈ W_{∞}^{k} построить последовательность {f_{n}} гладких цилиндрических функций, производные которых п.н. ограничены теми же константами, что и соответствующие производные f, так, чтобы f_{n} ⟶_{n→∞} f

в W_{p}^{k}, p ≥ 1, а затем положить D̃^{l}f(x) = lim_{n→∞} D^{l}f_{n}(x).

Такой метод доказательства равенства W_{∞}^{k} = W L_{∞}^{k} в важном частном случае гауссовской меры μ был реализован в работе [30] в этой ситуации {f_{n}} можно выбрать как последовательность проекций на конечномерные линейные σ-алгебры. Аналогичные результаты справедливы для мер, близких в некотором смысле к продакт-мерам [12] и для логарифмически выпуклых мер [?].

Замечание 2. Рассуждения, аналогичные доказательству леммы 3 гл.2 [2], показывают, что для производной функции f ∈ W_{∞}^{k}(X, E, μ) и произвольного базиса {e_{n}} в H существуют модификации {˜D̃^{l}f, l = 0, …, k − 1}, липшицевые вдоль H̃ = л.о. {e_{n}} с константами {esssup ∥D^{l+1}f∥, l = 0, …, k −1} соответственно. Если выполнено условие (1.4), то модификации D̃^{l}f могут быть выбраны так, что

L_{l} = esssup ∥D^{l+1}f∥, l = 0, …, k − 1.

2. Общая формула замены переменных для гладких мер.

Всюду дале мы предполагаем, что мера μ удовлетворяет следующему условию B. Для каждого h ∈ H логарифмическая производная (ρ, h) лежит в ∩_{p} W_{p}^{1}(X, μ),

и существует ограниченный случайный оператор (см. [10]), действующий в H, такой, что β_{μ} = esssup ∥B∥_{𝔏(H)} < +∞ и Bh = −D(ρ, h) п.н., h ∈ H.

Условие B, в частности, является достаточным для выполнения оценок (1.1). Основным результатом данного параграфа является следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть отображение F : X → X имеет вид

F (x) = x + jΦ(x), x ∈ X

и функция Φ принадлежит классу HC^{1}(X, H, μ) функций из W_{∞}^{1}(X, H, μ), таких, что для произвольного x ∈ X функции

H ∋ h ↦ Φ(x + h) ∈ H, H ∋ h ↦ DΦ(x + h) ∈ H^{⊗2}

непрерывны. Пусть также μ({x| оператор I_{H} + DΦ(x) необратим }) = 0.

Тогда образ μ_{F} меры μ при отображении F абсолютно непрерывен относительно μ и

p_{F} (x) ≡ \frac{dμ_{F}}{dμ} (x) = ∑_{y∈F^{−1}(\{x\})}[J_{F}^{μ}(y)]^{−1}  (2.1)

п.н. относительно пополнения меры μ, где

J_{F}^{μ}(x) = | det_{2}(I_{H} + DΦ(x))| exp[−I(Φ)(x)−
− ∫_{0}^{1}(1 − τ)(B(x + τjΦ(x))Φ(x), Φ(x))_{H}dτ], x ∈ X,  (2.2)

здесь символ det_{2} обозначает определитель Карлемана-Фредгольма [?]. Замечания.

1. Стохастический интеграл I(Φ) для Φ ∈ W_{∞}^{1}(X, H, μ) корректно определен [15].

2. Для мер, для которых классы W_{∞}^{k} и W L_{∞}^{k} совпадают (например, продакт-мер или логарифмически выпуклых, в частности, гауссовских) достаточным условием на гладкость функции Φ является условие Φ ∈ W_{∞}^{2}(X, H, μ).

Доказательству теоремы предпошлем несколько вспомогательных результатов. Прежде всего, укажем некоторые свойства определителя Карлемана-Фредгольма, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Лемма 2.2. [14] Функция

T ↦ det(I_{H} + T) exp(− tr T),

определенная на множестве 𝔏_{fin}(H) линейных непрерывных операторов в H, имеющих конечномерный образ, непрерывна на этом множестве по норме пространства 𝔏_{2}(H) и имеет продолжение по непрерывности на все 𝔏_{2}(H).

Это продолжение обозначается det_{2}(I_{H} + ·).

2) det_{2}(I_{H} + T) = 0 ⇔ 0 ∈ σ(I_{H} + T), T ∈ 𝔏_{2}(H);

3) функция det_{2}(I_{H} + ·) равномерно непрерывна и ограничена на каждом множестве вида {∥ · ∥_{𝔏_{2}} ≤ K};

4) для произвольного δ < 1 функция [det_{2}(I_{H} + ·)]^{−1} равномерно непрерывна и ограничена на {∥ · ∥_{𝔏_{2}} ≤ δ}.

Общая схема доказательства теоремы 2.1 совпадает с предложенной S.Kusuoka схемой доказательства аналогичного утверждения для гауссовских мер, сводящейся (см. [4],[16]) к локальному представлению отображения F в виде композиции аффинного преобразования пространства X и отображения, мало отличающегося от тождественного. Первым шагом в реализации этой программы является следующий результат.

Теорема 2.3. Пусть Φ ∈ W L_{∞}^{1}(X, H, μ) и

β_{1} ≡ esssup ∥DΦ∥_{𝔏_{2}(H)} < 1.

Тогда 1) μ_{F} ∼ μ;

2) существует измеримое отображение

F^{−1} : X → X : F ∘ F^{−1} = F^{−1} ∘ F = id_{X} μ − п.н.,

при этом

p_{F} (x) = [J_{F}^{μ}(F^{−1}(x))]^{−1}, x ∈ X;

3) для произвольного ε, |ε| < β_{1}^{−1} существует константа C, зависящая только от ε, β_{μ}, β_{1} и β_{0} = esssup ∥Φ∥_{H} такая, что

E exp εI(Φ) ≤ C.

Замечание. Утверждение п.1) обеспечивает независимость значения выраже-

ния ∫_{0}^{1}(1 − τ)(B(· + τΦ)Φ, Φ)dτ, а значит и J_{F}^{μ}, от выбора модификации случайного оператора B.

Доказательство теоремы. Рассмотрим сначала случай X = H = ℝ^{n}. В этом случае μ ∼ λ^{n}, и стандартная теорема о замене переменных дает нам эквивалентность мер μ_{F} , λ^{n} и μ_{F^{−1}} (отображение F^{−1} сейчас существует в силу теоремы о сжимающем отображении). При этом

\frac{dμ_{F^{−1}}}{dμ} (x) = | det(I_{H} + DΦ)| exp[ln p(F (x)) − ln p(x)].  (2.3)

Учитывая, что сейчас ρ = (ln p)′, B = −(ln p)′′, записав для разности логарифмов в (2.3) формулу Тейлора с остаточным членом в интегpальной форме и применив затем равенство (1.3), получим, что

\frac{dμ_{F^{−1}}}{dμ} (x) = J_{μ}^{F} (x),

что завершает доказательство п.2).

Для доказательства п.3) отметим, что

E exp(εI(Φ)) = EJ_{id_{X}−εjΦ}^{μ}[det_{2}(I − ε∇Φ)]^{−1} exp{ε^{2} ∫_{0}^{1}(1 − τ)×

×(B(· − τεjΦ), Φ, Φ)dτ\} ≤ E sup_{∥T ∥_{𝔏_{2}(H)}≤|εβ_{1}|}[det_{2}(I_{H} + T)]^{−1} exp\{\frac{ε^{2}}{2} β_{0}^{2} · β_{μ}\} =

= C(ε, β_{0}, β_{1}, β_{μ}) < +∞,

что и требовалось.

Пусть теперь X бесконечномерно, докажем 1) при дополнительном предположении о том, что существует конечномерное пространство H_{0} ⊂ j^{∗}X^{∗} такое, что Φ(X) ⊂ H_{0}. Разложим пространство X в прямую сумму X = X_{0} + [(j^{∗})^{−1}H_{0}]^{⊥}, dim X_{0} < +∞. Это разложение порождает разложение меры μ

μ(d(x, y)) = μ_{y}(dx)π(dy), (x, y) ∈ X,

где {μ_{y}, y ∈ [(j^{∗})^{−1}H_{0}]^{⊥}} и π – условные меры и образ меры μ при проектировании на [(j^{∗})^{−1}H_{0}]^{⊥} соответственно. С другой стороны, поскольку Φ(X) ⊂ H_{0}, отображение F можно представить в виде

F (x, y) = (x + jφ_{y}(x), y), (x, y) ∈ X,

причем для каждого y отображение φ_{y} удовлетворяет условиям теоремы. В силу принципа сжимающих отображений для всех y существуют обратные отображения (id_{X_{0}} +jφ_{y})^{−1}. Поскольку π-почти все условные меры {μ_{y}} удовлетворяют условию B, для π-п.в. y

p_{y}(x) ≡ \frac{dμ_{y} ∘ (id_{X_{0}} + jφ_{y})^{−1}}{dμ_{y}} (x) = [J_{(id_{X_{0}}+jφ_{y})}^{μ_{y}}((id_{X_{0}} + jφ_{y})^{−1}(x))]^{−1}, x ∈ X_{0},

что и доказывает требуемое утверждение.

Рассмотрим, наконец, общий случай. Выберем в H базис {h_{k}} ⊂ j^{∗}X^{∗} и положим P_{n} = Pr_{⟨h_{1},...,h_{n}⟩}, F_{n} = id_{X} + jP_{n}Φ. В силу доказанного выше, для произвольного n ≥ 1 существует обратное отображение F_{n}^{−1}, μ_{n} ≪ μ, μ_{F_{n}^{−1}} ≪ μ и

p_{F_{n}}(x) = [J_{F_{n}}^{μ}(F_{n}^{−1}(x))]^{−1}, p_{F_{n}^{−1}}(x) = J_{F_{n}}^{μ}(x), x ∈ X.

По построению, μ_{n} ⟹ μ, n → ∞. Кроме того, в силу оценки 3), уже доказанной для конечномерных отображений,

E[p_{F_{n}}(x)]^{2} = E[J_{F_{n}}^{μ}(x)]^{−2}J_{F_{n}}^{μ}(x) = E[J_{F_{n}}^{μ}(x)]^{−1} ≤ C_{1}(β_{0}, β_{1}, β_{μ}),

то есть семейство {p_{F_{n}}, n ≥ 1} равномерно интегрируемо. Теперь утверждение п.1) следует из общего результата А.В.Скорохода.

Теорема 2.4. [1] Пусть X – сепарабельное метрическое пространство, μ – вероятностная мера, заданная на борелевской σ-алгебре, {f_{n} : X → X|n ≥ 0} – последовательность измеримых отображений. Предположим, что

а) для любого n ≥ 1 мера μ ∘ (f_{n})^{−1} абсолютно непрерывна относительно μ; б) последовательность плотностей \{\frac{dμ∘(f_{n})^{−1}}{dμ} : n ≥ 1\} равномерно интегриру-

ема; в) f_{n} сходится к f_{0} при n → ∞ по мере μ. Тогда μ ∘ (f_{0})^{−1} ≪ μ и, если последовательность \{\frac{dμ∘(f_{n})^{−1}}{dμ} \} сходится по веро-

ятности к некоторой функции p, то

p = \{\frac{dμ ∘ (f_{0})^{−1}}{dμ} \} .

По построению, каждая из функций F_{n}^{−1} H-липшицева с константой \frac{1}{1−β_{1}} для всех n ≥ 1, ∥F_{n}−F ∥ → 0, n → ∞ п.н. и п.н. существует предел в H lim_{n→∞} F_{n}^{−1} ≡ F^{−1}. Тогда

∥F ∘ F^{−1} − id_{X}∥_{H} ≤ \overline{lim}_{n→∞} ∥F ∘ F^{−1} − F_{n} ∘ F^{−1}∥_{H} + \overline{lim}_{n→∞} ∥F_{n} ∘ F^{−1} − F_{n} ∘ F_{n}^{−1}∥ ≤

\overline{lim}_{n→∞} ∥F ∘ F^{−1} − F_{n} ∘ F^{−1}∥_{H} + β_{1} \overline{lim}_{n→∞} ∥F^{−1} − F_{n}^{−1}∥_{H} = 0 п.н.

в силу абсолютной непрерывности μ_{F^{−1}} ≪ μ. Аналогичным образом доказывается равенство F^{−1} ∘ F = id_{X} п.н. Для завершения доказательства нам осталось проверить, что

∫_{0}^{1}(1 − τ)(B(· + τjΦ_{n})Φ_{n}, Φ_{n})dτ → ∫_{0}^{1}(1 − τ)(B(· + τjΦ)Φ, Φ)dτ п.н.

Эта сходимость обеспечивается следующим полезным вспомогательным утверждением.

Лемма 2.5. Пусть X, Y – полные сепарабельные метрические пространства с метриками ρ_{X}, ρ_{Y} соответственно, μ – вероятностная мера, заданная на борелевской σ-алгебре B(X); φ_{n} : X → X, f_{n} : X → Y, n ≥ 0 – измеримые отображения. Предположим, что

(i) φ_{n} ⟶^{μ} φ_{0}, n → ∞, f_{n} ⟶^{μ} f_{0}, n → ∞;

(ii) для каждого n ≥ 1 мера μ ∘ φ_{n}^{−1} абсолютно непрерывна относительно μ; (iii) последовательность плотностей \{\frac{dμ∘(φ_{n})^{−1}}{dμ} : n ≥ 1\} равномерно интегри-

руема.

Тогда f_{n} ∘ φ_{n} ⟶^{μ} f_{0} ∘ φ_{0}, n → ∞.

Доказательство. Без потери общности можно считать, что сходимости

f_{n} → f_{0}, n → ∞, φ_{n} → φ_{0}, n → ∞

имеют место μ-почти наверное. Кроме того, по теореме 2.4 μ∘φ_{0}^{−1} ≪ μ. Пусть ε > 0 задано. Используя теорему Улама и равномерную интегрируемость плотностей \{\frac{dμ∘(φ_{n})^{−1}}{dμ} : n ≥ 0\} выберем такой компакт K̃ ⊂ X, что μ(X\K̃) < ε и μ(φ_{n} ∉ K̃) < ε для любого n ≥ 0. Из теорем Улама, Лузина и Егорова следует существование такого компакта K ⊂ K̃, μ(X \ K) < 2ε, что

а) функция f_{0} непрерывна на K;

б) имеет место равномерная сходимость на K :

f_{n} ⇒^{K} f_{0}, n → ∞; φ_{n} ⇒^{K} φ_{0}, n → ∞.

Выберем такие δ > 0 и n_{0} ∈ ℕ, что

∀x, y ∈ K, ρ_{X}(x, y) < δ : ρ_{Y} (f_{0}(x), f_{0}(y)) < ε;
∀x ∈ K ∀n ≥ n_{0} : ρ_{X}(φ_{n}(x), φ_{0}(x)) < δ, ρ_{Y} (f_{n}(x), f_{0}(x)) < ε;
∀n ≥ n_{0} : μ(ρ_{X}(φ_{n}, φ_{0}) ≥ δ) < ε.

Тогда при n ≥ n_{0}

μ(ρ_{Y} (f_{n} ∘ φ_{n}, f_{0} ∘ φ_{0}) ≥ 2ε) ≤
≤ μ(φ_{n} ∉ K) + μ(φ_{0} ∉ K) + μ(ρ_{X}(φ_{n}, φ_{0}) ≥ δ)+
+μ(φ_{n} ∈ K, φ_{0} ∈ K, ρ_{X}(φ_{n}, φ_{0}) < δ, ρ_{Y} (f_{n} ∘ φ_{n}, f_{0} ∘ φ_{n}) ≥ ε)+
+μ(φ_{n} ∈ K, φ_{0} ∈ K, ρ_{X}(φ_{n}, φ_{0}) < δ, ρ_{Y} (f_{0} ∘ φ_{n}, f_{0} ∘ φ_{0}) ≥ ε) ≤ 5ε,

что и доказывает лемму 2.5.

Следующим шагом в доказательстве теоремы 2.1 является аналог теоремы об обратной функции.

Зафиксируем в H ОНБ {e_{n}, n ≥ 1} ⊂ j^{∗}X^{∗}, будем обозначать H_{n} ≡ ⟨e_{1}, …, e_{n}⟩.

Теорема 2.6. Пусть Φ удовлетворяет условиям теоремы 2.1. Тогда существуют счетные семейства измеримых множеств {V_{i}^{α}} и функций {Ψ_{i}^{α} : V_{i}^{α} → H}, α = 1, 2, 3, таких, что V_{i}^{α+1} = T_{i}^{α}V_{i}α, α = 1, 2, T_{i}^{α} = id_{V_{i}^{α}} + jΨ_{i}^{α}, причем

1) Ψ_{i}^{3} – детерминированные отображения со значениями в H_{n_{i}}, i ≥ 1;

2) для каждого i ≥ 1 существует DΨ_{i}^{1} – детерминированный элемент в 𝔏(H_{n_{i}}) ⊂ 𝔏_{2}(H), причем det_{2}(I_{H} + DΨ_{i}^{1}) ≠ 0;

3) отображение T_{i}^{2} удовлетворяет на множестве V_{i}^{2} условиям теоремы 2.3;

4) ∪_{i}V_{i}^{1} = {x| det_{2}(I_{H} + DΦ(x)) ≠ 0} и F_{i} ≡ F |_{V_{i}^{1}} = T_{i}^{3} ∘ T_{i}^{2} ∘ T_{i}^{1};

5) функции (id_{X}+jP_{H_{n}}Ψ_{i}^{2}) взаимно однозначны на V_{i}^{2}, множества V_{i}^{3,n} = (id_{X}+

jP_{H_{n}}Ψ_{i}^{2})V_{i}^{2} удовлетворяют условиям V_{i}^{3,∞} ≡ \underline{lim}_{n→∞} V_{i}^{3,n} ⊃ V_{i}^{3}, и ∥κ_{i}^{n}(x)−κ_{i}(x)∥_{H} →

0, n → ∞, x ∈ V_{i}^{3}, где

(id_{X} + jΨ_{i}^{2})^{−1}(x) = id_{X} + jκ_{i}(x), x ∈ V_{i}^{3}

и

(id_{X} + jP_{H_{n}}Ψ_{i}^{2})^{−1}(x) = id_{X} + jκ_{i}^{n}(x), x ∈ V_{i}^{3,n}.

Утверждения 1) - 4) доказаны S.Kusuoka в работе [4] (см.также [16]). Никакие свойства меры (в цитированной работе – гауссовской) при этом не использовались. Справедливость утверждения 5) для семейств {V_{i}^{α}}, {Ψ_{i}^{α}}, построенных в [4], получаем непосредственным применением принципа сжимающих отображений.

Доказательство теоремы 2.1 состоит в локальном применении (к функциям F_{i} = F |_{V_{i}^{1}}) рассуждений теоремы 2.3. Для любых фиксированных n ≥ 1, i ≥ 1 образы меры μ|_{V_{i}^{1}} и μ|_{T_{i}^{3}V_{i}^{3,n}} при отображениях F_{i}^{n} ≡ T_{i}^{3} ∘ (id_{X} + jP_{H_{n}}Ψ_{i}^{2}) ∘ T_{i}^{1} и (F_{i}^{n})^{−1} соответственно абсолютно непрерывны относительно меры μ и соответствующие плотности равны

[J_{F_{i}^{n}}^{μ}((F_{i}^{n})^{−1}(x))]^{−1}, x ∈ T_{i}^{3}V_{i}^{3,n} и J_{F_{i}^{n}}^{μ}(x), x ∈ V_{i}.

Для проверки этого факта достаточно разложить меру μ в семейство условных мер, сосредоточенных на слоях, параллельных H_{n_{i}∨n}, и применить конечномерную формулу замены переменны. Переходя к пределу по n → ∞, и используя утверждение 5) теоремы 2.6 и лемму 2.5, получим, что

μ|_{V_{i}^{1}} ∘ F^{−1} ≪ μ, p_{i}(x) = \frac{dμ|_{V_{i}^{1}} ∘ F^{−1}}{dμ} (x) = [J_{F}^{μ}((F_{i})^{−1}(x))]^{−1}, x ∈ F (V_{i}^{1}).

Учитывая, что μ(∪_{i}V_{i}^{1}) = 1, и следовательно μ∘F^{−1} = μ|_{∪_{i}V_{i}^{1}} ∘F^{−1}, и предполагая, что V_{i}^{1} ∩ V_{j}^{1} = Ø, i ≠ j (что не ограничивает общности), получаем, что μ ∘ F^{−1} ≪ μ и

p(x) = \frac{dμ ∘ F^{−1}}{dμ} (x) = ∑_{i:x∈F (V_{i}^{1})} J_{F}^{μ}((F_{i}^{−1})(x)) = ∑_{y∈∪_{i}V_{i}^{1}F (y)=x} J_{F}^{μ}(y), x ∈ X.

Доказательство теоремы 2.1 теперь завершает следующий аналог теоремы Сарда.

Теорема 2.7. Пусть Φ ∈ HC^{1}(X, H, μ), тогда

μ^{∗}(F ({x| det_{2}(I_{H} + DΦ(x)) = 0})) = 0.

Доказательство. В работе S.Smale [17] был предложен подход к доказательству бесконечномерных аналогов теоремы Сарда, который заключается в использовании теоремы о неявной функции для локального сведения преобразования F к конечномерному. В нашей ситуации этот подход может быть реализован следующим образом.

Пусть n ≥ 1, положим X_{n} = {x| det_{2}(I_{H} + (I_{H} − P_{H_{n}})DΦ(x)) ≠ 0.} В силу результата теоремы 2.6 существует семейство множеств {V_{i}^{n}} такое, что

μ|_{V_{i}^{n}} ∘ (id_{X} + j(I_{H} − P_{H_{n}})Φ)^{−1} ≪ μ, ∪_{i}V_{i}^{n} = X_{n}.

Учитывая, что образ отображения Φ ∘ (id_{X} + j(I_{H} − P_{H_{n}})Φ)^{−1} принимает значения в H_{n}, получаем, что на V_{i}^{n} отображение F имеет вид F |_{V_{i}^{n}} = F_{i,n}^{2}∘F_{i,n}^{1}, где F_{i,n}^{1}(x) = x + jΨ_{n}(x), Ψ_{n}(x) ∈ H_{n}, x ∈ V_{i}, а F_{i,n}^{2} переводит меру μ в абсолютно непрерывную. Применяя к F_{i,n}^{1} конечномерную теорему Сарда, и суммируя по i, получаем, что

μ^{∗}(F {x ∈ X_{n}| det_{2}(I_{H} + DΦ) = 0}) = 0.

Учитывая, что ∪_{n}X_{n} = X, получаем требуемое утверждение. Теорема доказана. 3. Некоторые применения. Теорема Гирсанова для гладких мер. Приведем несколько частных случаев формулы (2.1), представляющих самосто-

ятельный интерес.

В этом параграфе мы предполагаем, что зафиксирован изоморфизм, отождествляющий пространство H с L_{2}([0, 1]). Положим H_{t} = L_{2}([0, t]) ⊂ H, и определим поток σ-алгебр {F_{t} = σ(φ ∈ W_{∞}^{1}(X, μ) : Dφ ∈ H_{t} п.н.), t ∈ [0, 1]}.

Имеет место следующий результат.

Теорема 3.1. [18]. Пусть процесс {g_{t}, t ∈ [0, 1]} согласован с потоком {F_{t}} и

E ∫_{0}^{1} g_{t}^{2}dt < +∞.

Тогда g как случайный элемент в L_{2}([0, 1]) стохастически интегрируем с p = 2. Кроме того, существует последовательность ступенчатых неупреждающих процессов

g_{t}^{n} = ∑_{k=1}^{N} α_{k}^{n}I_{t∈[t_{n}^{k−1},t_{n}^{k}]}, t ∈ [0, 1], n ≥ 1  (3.1)

такая, что E∥g − g^{n}∥_{L_{2}([0,1])}^{2} → 0, n → ∞ и

I_{2}(g) = L_{2} − lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{N_{n}} α_{k}^{n}[m(t_{n}^{k}) − m(t_{n}^{k−1})],

где {m(t) = I(I_{[0,t]}), t ∈ [0, 1]}. Процесс m(·) называют логарифмическим процессом меры μ.

Замечание. Процесс m может не быть согласованным с потоком {F_{t}}, см. [15]. Теорема 3.2. Пусть g – согласованный с {F_{t}} процесс и ∥g∥_{H,∞} ≡ esssup ∥g∥_{H} <

+∞.

Тогда распределение μ_{F} в X случайного элемента F,

F (x) = x + jg(x), x ∈ X  (3.2)

эквивалентно мере μ. Если при этом σ(F) = B(X), то

p^{F} (F (x)) ≡ \frac{dμ}{dμ_{F}} (F (x)) = exp\{−I(g)(x)−∫_{0}^{1}(1−τ)(B(x+τjg)g(x), g(x))_{H}dτ\}. (3.3)

Замечание. Пусть X = C_{0}([0, 1]), H = L_{2}([0, 1]), μ = μ_{W} – мера Винера, j : h(·) ↦ ∫_{0}^{·} h(s)ds. В этой ситуации теорема 3.2 устанавливает абсолютную непрерывность распределения процесса Ито {ξ_{t}, t ∈ [0, 1]} с дифференциалом dξ_{t}(x) = g_{t}dt + dx_{t}, t ∈ [0, 1] относительно винеровской меры. Стохастический интеграл по винеровскому процессу от неупреждающего процесса g совпадает с обычным интегралом Ито, а оператор B тождественно равен I_{H}, поэтому формула (3.3) в этой ситуации имеет вид

\frac{dμ_{w}}{dμ_{ξ}} (ξ) = exp(− ∫_{0}^{1} g_{t}dw_{t} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} g_{t}^{2}dt) = exp(− ∫_{0}^{1} g_{t}dξ_{t} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} g_{t}^{2}dt),

что совпадает с классической формулой Гирсанова. Таким образом, теорему 3.2 можно рассматривать как аналог формулы Гирсанова для гладких мер.

Доказательство теоремы. Пусть сначала элемент g имеет вид (3.1), причем каждая из случайных величин α_{n}^{k} является F_{t_{n}^{k−1}}-измеримой случайной величиной из W L_{∞}^{2}. Тогда отображение (3.2) удовлетворяет условиям теоремы 2.1. Поскольку

(Dg(x), I_{[t_{n}^{k−1},t_{n}^{k}]} ⊗ I_{[t_{n}^{j−1},t_{n}^{j}]})_{H^{⊗2}} = 0

для всех x ∈ X, k ≥ j, имеем det_{2}(I_{H} + Dg(x)) = 1. Как несложно проверить, отображение F = id_{X} +jg имеет обратное отображение F^{−1} = id_{X} +jq, где элемент q имеет вид (3.1). Теперь равенство (3.3) вытекает непосредственно из формулы (2.1).

Аналогично доказательству п.3) теоремы 2.3 получаем, что

E exp CI(g) ≤ exp\{\frac{C^{2}}{2} β_{μ}∥g∥_{H,∞}^{2}\}, C ∈ ℝ.  (3.4)

Утверждение для произвольного процесса g, удовлетворяющего условию теоремы получаем с помощью предельного перехода, используя результат леммы 2.5, оценка (3.4) при этом обеспечивает равномерную интегрируемость семейства плотностей. Теорема доказана.

Следствие. При выполненных условиях теоремы для произвольного α < (β_{μ}∥g∥_{H,∞})^{−1}

E exp \frac{α}{2}I^{2}(g) < +∞.

Аналогичный результат имеет место для монотонных отображений.

Отображение F = id_{X} + jΦ называется монотонным, если DΦ(x) ≥ 0, x ∈ X.

Следующий результат доказывается аналогично предыдущей теореме.

Теорема 3.3. Пусть F = id_{X}+jΦ – монотонное отображение, Φ ∈ W L_{∞}^{1}(X, H, μ). Тогда F иньективно и

1) μ_{F} ≤ μ,

\frac{dμ_{F}}{dμ} (x) = [J_{F}^{μ}(y)]^{−1}, F (y) = x, x ∈ X,

2) E exp CI(g) ≤ exp \frac{C^{2}}{2} β_{μ}∥Φ∥_{H,∞}, C < 0;

3) для α < (β_{μ} · ∥Φ∥_{H,∞})^{−1}

E exp \frac{α}{2}(I(Φ) ∧ 0)^{2} < +∞.

4. Преобразования, порожденные эволюционным потоком.

В данном параграфе рассматривается абсолютная непрерывность исходной меры μ при действии потока, порожденного интегральным уравнением

u_{t}(x) = x + j(∫_{0}^{t} b_{s}(u_{s}(x))ds), x ∈ X, t ∈ [0, 1].  (4.1)

Отметим одну особенность уравнения (4.1). Совершенно естественно требование о том, чтобы решение (4.1) оставалось прежним, при замене случайного процесса b_{t}, t ∈ [0, 1] на стохастически эквивалентный процесс. Однако, это вообще говоря неверно, если меры μ ∘ (u_{s})^{−1} и μ сингулярны. Поэтому вопрос об абсолютной непрерывности мер μ∘(u_{t})^{−1} относительно μ и существовании решения (4.1) следует рассматривать одновременно.

Определение 4.1. Измеримый случайный процесс u_{t}, t ∈ [0, 1] является решением уравнения (4.1), если

а) существует множество X_{0} ⊂ X полной меры такое, что соотношение (4.1) выполняется для всех x ∈ X_{0}, t ∈ [0, 1];

б) меры μ ∘ (u_{t})^{−1}, t ∈ [0, 1] абсолютно непрерывны относительно μ.

Основным результатом данного параграфа является следующая теорема.

Теорема 4.2. Предположим, что мера μ удовлетворяет условию B, функция b = b_{t}(x) : [0, 1]×X → H измерима по паре переменных, b_{t} ∈ W_{∞}^{1}(X, H, μ) для п.в. t ∈ [0, 1] и esssup_{t} ∥b_{t}∥_{W_{∞}^{1}} < ∞.

Тогда

а) уравнение (4.1) имеет решение;

б) для каждого t ∈ [0, 1] уравнение

v_{s,t}(x) = x − j(∫_{s}^{t} b(z, v_{z,t}(x))dz), 0 ≤ s ≤ t  (4.2)

имеет решение, причем функция v_{t} := v_{0,t} является п.н. обратным отображением к u_{t}, т.е.

v_{t}(u_{t}(x)) = u_{t}(v_{t}(x)) = x для μ-п.в. x. и v_{st} = u_{s} ∘ v_{t} μ-п.н.

в) меры μ, μ∘(u_{t})^{−1}, μ∘(v_{s,t})^{−1}, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 эквивалентны, плотности Радона-Никодима имеют вид

\frac{dμ ∘ (u_{t})^{−1}}{dμ} (x) = exp(∫_{0}^{t}(Ib_{s})(v_{s,t}(x))ds),  (4.3)
\frac{dμ ∘ (v_{s,t})^{−1}}{dμ} (x) = exp(− ∫_{s}^{t}(Ib_{z})(u_{z}(x))dz).  (4.4)

г) если для п.в. t ∈ [0, 1] отображение b_{t} принадлежит классу W L_{∞}^{1}(X, H, μ), то решение уравнения (4.1) единственно с точностью до стохастической эквивалентности.

Замечание. Впервые вопрос о преобразовании меры потоком, порожденным дифференциальным уравнением в бесконечномерном пространстве, был рассмотрен A.B.Cruzeiro [19] для гауссовских мер. Сильное обобщение этого результата в случае произвольной дифференцируемой меры получено V.I.Bogachev, E.Mayer-Wolf [20]. Доказано, что если b : X → H – измеримое отображение, μ – вероятностная мера на банаховом пространстве X, дифференцируемая вдоль гильбертова пространства H ↪ X и

α) ∀c ∈ ℝ ∀h ∈ H : exp{cρ_{h}} ∈ L_{1}(X, μ);

β)∀c > 0 : exp(c∥b∥_{H}), exp(c∥Db∥op) ∈ L_{1}(X, μ),

где ∥ · ∥op – операторная норма;

γ) существует такая последовательность конечномерных ортогональных проекторов {P_{n} : n ≥ 1} таких, что P_{n}b ∈ D(I), n ≥ 1 и ∀c ∈ ℝ : sup_{n} E exp(cI(P_{n}b)) < ∞, то существует и единственно решение уравнения

u_{t}(x) = x + j(∫_{0}^{t} b(u_{s}(x))ds).

Отметим, что условия на меру и функцию b в теореме 4.1 гораздо сильнее, чем (α), (β). С другой стороны, условие (γ) обычно бывает довольно трудно проверить.

Доказательство существования решения будет проводиться, как и в п.2, с помощью аппроксимации решения искомого уравнения решениями уравнения вида (4.1) с коэффициентами P_{n}b, где P_{n} – конечномерный проектор. В связи с этим нам понабодится следующее утверждение о свойствах решений обыкновенного дифференциального уравнения с липшицевыми коэффициентами.

Лемма 4.3. Предположим, что измеримая функция b : [0, 1] × ℝ^{n} → ℝ^{n} удовлетворяет условиям:

1) b – ограничена;

2) b удовлетворяет условию Липшица по x :

L := sup_{t∈[0,1]} sup_{x≠y} \frac{∥b(t, x) − b(t, y)∥}{∥x − y∥} < ∞.

Тогда а) интегральные уравнения

u_{t}(x) = x + ∫_{0}^{t} b(s, u_{s}(x))ds, t ∈ [0, 1], x ∈ ℝ^{n},  (4.5)
v_{s,t}(x) = x − ∫_{s}^{t} b(z, v_{z,t}(x))ds, s ∈ [0, 1], x ∈ ℝ^{n},  (4.6)

имеют единственные решения, причем отображения u_{t}, v_{s,t} : ℝ^{n} → ℝ^{n} являются биекциями и v_{0,t}(u_{t}(x)) = u_{t}(v_{0,t}(x)) = x, v_{s,t}(x) = u_{s} ∘ v_{t}(x) для всех x ∈ ℝ^{n};

б) для всех s, t, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 отображения u_{t} и v_{s,t} дифференцируемы λ^{n}-почти наверное и на некотором множестве X_{0} ⊂ ℝ^{n} полной меры Лебега справедливы соотношения

∇u_{t}(x) = id_{ℝ^{n}} + ∫_{0}^{t}(∇b)(s, u_{s}(x))∇u_{s}(x)ds, t ∈ [0, 1],  (4.7)
∇v_{s,t}(x) = id_{ℝ^{n}} − ∫_{s}^{t}(∇b)(z, v_{z,t}(x))∇v_{z,t}(x)dz, s ∈ [0, t],  (4.8)
det ∇u_{t}(x) = exp(∫_{0}^{t} tr(∇b)(s, u_{s}(x))ds), t ∈ [0, 1],  (4.9)
det ∇v_{s,t}(x) = exp(− ∫_{s}^{t} tr(∇b)(z, v_{z,t}(x))dz), s ∈ [0, t].  (4.10)

в) меры λ^{n} ∘ (u_{t})^{−1}, λ^{n} ∘ (v_{s,t})^{−1}, λ^{n} эквивалентны, причем λ^{n}-п.н.

\frac{dλ^{n} ∘ (u_{t})^{−1}}{dλ^{n}} (x) = det ∇v_{0,t}(x)  (4.11)
\frac{dλ^{n} ∘ (v_{s,t})^{−1}}{dλ^{n}} (x) = exp(∫_{s}^{t} tr(∇b)(z, u_{z}(x))dz).  (4.12)

Доказательство. Пункт а) леммы является стандартным утверждением теории дифференциальных уравнений [21]. В случае, когда для любого t ∈ [0, 1] функция b(t, ·) непрерывно дифференцируема, утверждения б), в) также известны.

Пусть ψ_{r} : ℝ^{n} → ℝ бесконечнно дифференцируемая функция, ψ_{r}(x) = 1 при ∥x∥ ≤ r, ψ_{r}(x) = 0 при ∥x∥ ≥ r + 1. Положим b_{r}(t, x) := b(t, x)ψ_{r}(x). Пусть u_{r,t} – решение уравнения

u_{r,t}(x) = x + ∫_{0}^{t} b_{r}(s, u_{r,s}(x))ds.

Зафиксируем c > 0. Заметим, что если ∥x∥ ≤ c, а r достаточно велико, то u_{r,t}(x) = u_{t}(x), t ∈ [0, 1]. Поэтому без потери общности можно считать, что функция b имеет компактный носитель, то есть

∃r_{0} > 0∀t ∈ [0, 1]∀x ∈ ℝ^{n}, ∥x∥ ≥ r_{0} : ∥b(t, x)∥ = 0.

Заметим, что для любых t ∈ [0, 1], x_{1}, x_{2} ∈ ℝ^{n}, ∥x_{1}∥ ≤ r_{0}, ∥x_{2}∥ ≥ r_{0} : ∥u_{t}(x_{1})∥ ≤ r_{0}, u_{t}(x_{2}) = x_{2}. Поэтому для доказательства достаточно проверить, что сужение функций u_{t}, v_{s,t} на множество {∥x∥ ≤ r_{0} + 1} обладают указанными в лемме свойствами; меры λ^{n}|_{{∥x∥≤r_{0}+1}}, λ^{n}|_{{∥x∥≤r_{0}+1}} ∘ (u_{t})^{−1} эквивалентны и плотность Радона-Никодима задается соотношением (4.11).

Функция u_{t} удовлетворяет условию Липшица. Действительно, для любых x, y ∈ ℝ^{n}, t ∈ [0, 1] :

∥u_{t}(x) − u_{t}(y)∥ ≤ ∥x − y∥ + ∫_{0}^{t} ∥b(s, u_{s}(x)) − b(s, u_{s}(y))∥ds ≤ ∥x − y∥+
+L ∫_{0}^{t} ∥u_{s}(x) − u_{s}(y)∥ds.

Отсюда по лемме Гронуолла-Беллмана

sup_{x≠y} \frac{∥u_{t}(x) − u_{t}(y)∥}{∥x − y∥} ≤ e^{Lt}, t ∈ [0, 1].

Рассмотрим последовательность функций {b_{k}; k ≥ 1},

b_{k}(t, x) = ∫_{ℝ^{n}} b(t, y)φ_{k}(x − y)dy,

где φ_{k} : ℝ^{n} → ℝ, φ_{k}(x) = k^{n}φ(kx), φ – неотрицательная финитная бесконечно дифференцируемая функция, ∫_{ℝ^{n}} φ(x)dx = 1.

Для любого t ∈ [0, 1] функции b_{k}(t, ·) непрерывно дифференцируемы и

sup_{k,t,x} ∥b_{k}(t, x)∥ ≤ sup_{t,x} ∥b(t, x)∥ < ∞,

sup_{k,t,x} ∥∇b_{k}(t, x)∥ ≤ sup_{t} esssup_{x} ∥∇b(t, x)∥ < ∞,

sup_{t,x} ∥b_{k}(t, x) − b(t, x)∥ → 0, k → ∞;

∀t ∈ [0, 1] : ∇b_{k}(t, x) ⟶^{λ^{n}} ∇b(t, x), k → ∞.

Замечание. Функция b(t, ·) липшицева по x, следовательно по теореме Радемахера [9] дифференцируема λ^{n}-п.н.

Обозначим через u_{t}^{(k)}, v_{s,t}^{(k)} – решения уравнений (4.5), (4.6), где вместо функции b взята функция b_{k}. Для любого t ∈ [0, 1] функции u_{t}^{(k)}, v_{s,t}^{(k)} непрерывно дифференцируемы и для них выполнены утверждения а) – в).

Легко видеть, что

sup_{t,x} ∥u_{t}^{(k)}(x) − u_{t}(x)∥ → 0, k → ∞,

sup_{s,t,x} ∥v_{s,t}^{(k)}(x) − v_{s,t}(x)∥ → 0, k → ∞.

Отметим также, что для достаточно больших k :

∥v_{s,t}^{k}(x)∥, ∥u_{t}^{(k)}(x)∥ ≤ r_{0} + 1 при ∥x∥ ≤ r_{0} + 1,
u_{t}^{(k)}(x) = v_{s,t}^{(k)}(x) = x при ∥x∥ > r_{0} + 1.

Последовательность плотностей

\{\frac{dλ^{n}|_{\{∥x∥≤r_{0}+1\}} ∘ (u_{t}^{(k)})^{−1}}{dλ^{n}|_{\{∥x∥≤r_{0}+1\}}} = exp(∫_{0}^{t} tr ∇v_{s,t}^{(k)}ds) : k ≥ 1\}

равномерно интегрируема относительно меры Лебега. Поэтому, по теореме 2.4 имеем абсолютную непрерывность λ^{n}|_{{∥x∥≤r_{0}+1}} ∘ (u_{t})^{−1} ≪ λ^{n}|_{{∥x∥≤r_{0}+1}} и значит λ^{n} ∘ (u_{t})^{−1} ≪ λ^{n}. Аналогично проверяется, что λ^{n} ∘ (v_{s,t})^{−1} ≪ λ^{n}. Следовательно меры λ^{n}, λ^{n} ∘ (u_{t})^{−1}, λ^{n} ∘ (v_{s,t})^{−1} эквивалентны.

Проверим равенство (4.7). Заметим, что функции b(t, ·), b(t, u_{t}(·)), u_{t}(·) липшицевы, значит по теореме Радемахера они λ^{n}-п.н. диференцируемы. Из эквивалентности мер λ^{n} и λ^{n} ∘ (u_{t})^{−1} следует, что для любого t ∈ [0, 1] соотношение

∇(b(t, u_{t}(x))) = ∇b(t, u_{t}(x))∇u_{t}(x)  (4.13)

выполняется для λ^{n}-п.в. x.

Следовательно, (4.13) выполняется на некотором множестве X_{0} ⊂ ℝ^{n} полной меры Лебега для п.в. t ∈ [0, 1]. Справедливость (4.7) (и аналогично (4.8)) для всех x ∈ X_{0} следует теперь из теоремы о дифференцировании под знаком интеграла Лебега. Оставшиеся утверждения доказываются предельным переходом с использованием леммы 2.5 и теоремы 2.4.

Лемма 4.3 доказана.

Лемма 4.4. Пусть μ(dx) = e^{−V (x)}dx – вероятностная мера в ℝ^{n}, b : [0, 1]×ℝ^{n} → ℝ^{n} – измеримое отображение. Предположим, что

а) V непрерывно дифференцируема, производная V′ липшицева, и вторая производная V′′ существенно ограничена:

β_{μ} := esssup_{x} ∥V′′(x)∥ < ∞, ∥ · ∥ − операторная норма.

б) функция b ограничена константой β_{0}; в) функция b липшицева по x и

β_{1} := sup_{t} esssup_{x} ∥∇b(t, x)∥_{𝔏_{2}} < ∞,

где ∥ · ∥_{𝔏_{2}} – норма Гильберта-Шмидта.

Обозначим через u_{t}, v_{s,t} решения уравнений (4.5), (4.6). Тогда

1) меры μ, μ ∘ (u_{t})^{−1}, μ ∘ (v_{s,t})^{−1} эквивалентны,

p_{t} := \frac{dμ ∘ (u_{t})^{−1}}{dμ} = exp\{∫_{0}^{t}(Ib(s, ·))(v_{s,t})ds\},  (4.14)
p_{−t} := \frac{dμ ∘ (v_{t})^{−1}}{dμ} = exp\{− ∫_{0}^{t}(Ib(s, ·))(u_{s})ds\},  (4.15)

где I = ⟨V′, ·⟩ − tr ∇ расширенный стохастический интеграл соответствующий мере μ (см.(1.3));

2) существует такая константа C = C(β_{0}, β_{1}, β_{μ}) < +∞, зависящая только от β_{0}, β_{1}, β_{μ} (но не размерности ℝ^{n}), такая, что

sup_{t∈[0,1]} ∫_{ℝ^{n}} p_{t}| ln p_{t}|dμ ≤ C.  (4.16)

Доказательство. Для доказательства (4.14), (4.15) достаточно заметить, что

\frac{dμ ∘ (u_{t})^{−1}}{dμ} (x) = \frac{dλ^{n} ∘ (u_{t})^{−1}}{dλ^{n}} e^{V (v_{t}(x))−V (x)},

применить для \frac{dλ^{n}∘(u_{t})^{−1}}{dλ^{n}} формулу (4.11), а для (V (v_{t}(x))−V (x)) формулу Ньютона-Лейбница.

Используя лемму 2.5, формулу Тейлора с остаточным членом в интегpальной форме и аппроксимируя функцию V дважды непрерывно дифференцируемыми, а отображение u_{t} последовательностью {u_{t}^{(k)}} из леммы 4.3 получим для μ-п.в. x равенство:

V (v_{t}(x)) − V (x) = ⟨V′(x), v_{t}(x) − x⟩+
+ ∫_{0}^{t} ∫_{s}^{t}⟨V′′(v_{z,t}(x))b(z, v_{z,t}(x)), b(s, v_{s,t}(x))⟩dzds.

Заметим также, что

\frac{dλ^{n} ∘ (u_{t})^{−1}}{dλ^{n}} = exp\{− ∫_{0}^{t} tr[∇(b(s, v_{s,t})) − ∫_{s}^{t} ∇b(s, v_{s,t})∇b(z, v_{z,t})∇v_{z,t}dz]ds\}

Следовательно,

p_{t} = exp{− ∫_{0}^{t} ∫_{s}^{t} tr[∇b(s, v_{s,t})∇b(z, v_{z,t})∇v_{z,t}]dzds+
+I(v_{t}(x) − x) − ∫_{0}^{t} ∫_{s}^{t}⟨V′′(v_{z,t})b(z, v_{z,t}), b(s, v_{s,t})⟩dzds}.

Аналогично

p_{−t} = exp{− ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{s} tr[∇b(s, u_{s})∇b(z, u_{z})∇u_{z}]dzds+
+I(u_{t}(x) − x) − ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{s}⟨V′′(u_{z})b(z, u_{z}), b(s, u_{s})⟩dzds}.

Используя замену переменных x = v_{t}(y) получаем, что

∫_{ℝ^{n}} p_{t}(y)| ln p_{t}(y)|μ(dy) = ∫_{ℝ^{n}} | ln p_{−t}(x)|μ(dx) ≤
≤ ∫_{ℝ^{n}} ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{s} | tr[∇b(s, u_{s})∇b(z, u_{z})]∇u_{z}|dzdsdμ+
+ ∫_{ℝ^{n}} |I(u_{t}(x) − x)|μ(dx) + β_{μ} ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{s} ∥b(z, u_{z})∥∥b(s, u_{s})∥dzds.  (4.17)

Для любых t, x : ∥u_{t}(x) − x∥ ≤ β_{0}t. Используя лемму Гронуолла-Беллмана к уравнению (4.7) можно получить неравенство

∥∇(u_{t}(x) − x)∥_{𝔏_{2}} ≤ e^{β_{1}t}β_{1}, t ∈ [0, 1], x ∈ ℝ^{n}.

Лемма 4.5 ([22], Гл. 1, �3). Предположим, что мера μ на X удовлетворяет условию B, функция f : X → H принадлежит соболевскому пространству W_{2}^{1}(X, H, μ). Тогда f принадлежит области определения оператора I = I_{2} и

E(If)^{2} ≤ E∥Df∥_{𝔏_{2}}^{2} + β_{μ}E∥f∥_{H}^{2}.

Применяя указанные оценки и утверждение 4.5 ко второму слагаемому в (4.17), получим

∫ p_{t}| ln p_{t}|dμ ≤ ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{s} β_{1}^{2}(1 + e^{β_{1}z})dzds + \sqrt{β_{μ}β_{0}^{2}t^{2} + e^{2β_{1}t}} + \frac{1}{2}β_{μ}β_{0}^{2}.

Лемма 4.4 доказана.

Доказательство теоремы 4.2. Пусть {e_{n} : n ≥ 1} –ортонормированный базис пространства H, H_{n} = ⟨e_{1}, …, e_{n}⟩, P_{n} : H → H_{n} – ортогональный проектор на H_{n}. Разложим X в прямую сумму X = Y_{n} ⊕ j(H_{n}), где Y_{n} ⊂ X – некоторое замкнутое подпространство. Отождествим это разложение с произведением Y_{n} × ℝ^{n} так, чтобы вектора j(e_{1}), …, j(e_{n}) перешли бы в естественный базис ℝ^{n}. Точку в которую x ∈ X переходит при этом отождествлении, будем обозначать (y_{n}, x_{n}) ∈ Y_{n} × ℝ^{n}.

Пусть π_{n} = π_{n}(dy_{n}) – проекция меры μ на Y_{n}, {μ_{y_{n}}^{(n)}(dx_{n}) : y_{n} ∈ Y_{n}} – семейство условных мер, относительно расслоения X = Y_{n}×ℝ^{n} на плоскости вида {y_{n}}×ℝ^{n} = ℝ^{n}. Как уже отмечалось в п.2 для π^{n}-п.в. y_{n} эти условные меры дифференцируемы и удовлетворяют условию B (на ℝ^{n}).

Из условий теоремы следует (см.п.1 замечание 2.), что существует такая функция b̃: [0, 1] × X → H, что b̃_{t}(x) = b_{t}(x) для п.в. (t, x) и

∀m ≥ 1, h ∈ H_{m}, t ∈ [0, 1] : ∥b̃_{t}(x + j(h)) − b̃_{t}(x)∥_{H} ≤ β_{1}∥h∥_{H},  (4.18)

где β_{1} : esssup_{t,x} ∥Db(t, x)∥_{𝔏_{2}}.

Проведем доказательство теоремы в предположении о том, что сама функция b удовлетворяет (4.18).

Рассмотрим вспомогательную последовательность уравнений

u_{t}^{(n)}(x) = x + j(∫_{0}^{t} b_{s}^{(n)}(u_{s}^{(n)}(x))ds), x ∈ X, t ∈ [0, 1],  (4.19)

где b_{n} = P_{n}b.

Заметим, что для любого x = (y_{n}, x_{n}) функция u_{t}^{(n)} не изменяет координаты y_{n}, т.е. u_{t}^{(n)}(y_{n}, x_{n}) = (y_{n}, ũ_{t}^{(n)}(y_{n}, x_{n})), где ũ_{t}^{(n)} – решение следующего интегрального уравнения в ℝ^{n} :

ũ_{t}^{(n)}(y_{n}, x_{n}) = x_{n} + ∫_{0}^{t} b_{s}^{(n)}(y_{n}, ũ_{s}^{(n)}(y_{n}, x_{n}))ds.

Из леммы 4.3. следует, что для π^{n}-п.в. y_{n} ∈ Y_{n} меры μ_{y_{n}}^{(n)} и μ_{y_{n}}^{(n)} ∘ (ũ_{t}^{(n)}(y_{n}, ·))^{−1} эквивалентны, следовательно [2] μ ∼ μ ∘ (u_{t}^{(n)})^{−1} и для μ-п.в. (y_{n}, x_{n}) имеет место равенство:

\frac{dμ ∘ (u_{t}^{(n)})^{−1}}{dμ} (y_{n}, x_{n}) = \frac{dμ_{y_{n}}^{(n)} ∘ (u_{t}^{(n)}(y_{n}, ·))^{−1}}{dμ_{y_{n}}^{(n)}} (x_{n}).  (4.20)

Кроме того, из (4.16) получаем, что

sup_{n,t} ∫ p_{t}^{(n)}| ln p_{t}^{(n)}|dμ < ∞,

где p_{t}^{(n)} = \frac{dμ∘(u_{t}^{(n)})^{−1}}{dμ} , и значит последовательность \{p_{t}^{(n)}\} равномерно интегрируема. Оценим расхождение

E sup_{s≤t} ∥u_{s}^{(n)} − u_{s}^{(m)}∥_{H} ≤ E ∫_{0}^{t} ∥b_{s}^{(n)}(u_{s}^{(n)}) − b_{s}^{(m)}(u_{s}^{(m)})∥_{H}ds ≤

≤ E ∫_{0}^{t}(∥P_{n}b_{s}(u_{s}^{(n)}) − P_{n}b_{s}(u_{s}^{(m)})∥_{H} + ∥(P_{n} − P_{m})b_{s}(u_{s}^{(m)})∥_{H})ds ≤

≤ β_{1}E ∫_{0}^{t} ∥u_{s}^{(n)} − u_{s}^{(m)}∥_{H}ds + ∫_{0}^{t} ∫_{X} ∥(P_{n} − P_{m})b_{s}(x)∥_{H}p_{s}^{(m)}(x)μ(dx)ds. (4.21)

Здесь для оценки первого слагаемого в последнем неравенстве воспользовались (4.18). Отметим, что второе слагаемое в правой части (4.21) сходится к нулю при n, m → ∞ благодаря равномерной интегрируемости {p_{s}^{(m)}} и теореме Лебега о мажорируемой сходимости.

Из леммы Гронуолла-Беллмана следует фундаментальность последовательности {u^{(n)} : n ≥ 1} и существование случайной функции u_{t}, t ∈ [0, 1] с непрерывными траекториями такой, что

lim_{n→∞} E sup_{t} ∥u_{t}^{(n)} − u_{t}∥_{H} = 0.

Из теоремы 2.4 следует абсолютная непрерывность μ ∘ (u_{t})^{−1} ≪ μ, а из леммы 2.5, что для п.в. (t, x) выполняется равенство (4.1). Из непрерывности по t левой и правой частей (4.1) следует, что (4.1) выполняется для всех t ∈ [0, 1] на некотором множестве X_{0} ⊂ X μ-полной меры.

Аналогично доказывается существование решения (4.2). Равенство v_{t}(u_{t}(x)) = u_{t}(v_{t}(x)) = x для μ-п.в. x получается с помощью леммы 2.5, и значит μ∘(u_{t})^{−1} ∼ μ.

Проверим справедливость формулы (4.3).

Из леммы 4.4 и (4.20) следует, что для μ-почти всех x = (y_{n}, x_{n}) ∈ X :

p_{t}^{(n)}(y_{n}, x_{n}) = exp{∫_{0}^{t}(I^{y_{n}}b_{s}^{(n)})(v_{s,t}^{(n)}(x))ds},

где I^{y_{n}} : L_{2}(ℝ^{n}, ℝ^{n}, μ_{y_{n}}^{(n)}) → L_{2}(ℝ^{n}, μ_{y_{n}}^{(n)}) – расширенный стохастический интеграл. Заметим, что (см. (1.3)) для любой функции f ∈ W_{∞}^{1}(X, H, μ) :

(If)(y_{n}, x_{n}) = (I^{y_{n}}f)(y_{n}, x_{n}) для μ-п.в. x = (y_{n}, x_{n}) ∈ X.

Значит

p_{t}^{(n)}(x) = exp{∫_{0}^{t}(Ib_{s}^{(n)})(v_{s,t}^{(n)}(x))ds}.

Из утверждения 4.5 следует, что для любого s ∈ [0, 1] :

lim_{n→∞} ∫_{X}(Ib_{s}^{(n)}(x) − Ib_{s}(x))^{2}μ(dx) = 0.

Применяя теорему 2.4 и лемму 2.5 получим (4.3). Формула (4.4) доказывается аналогично. Итак, теорема 4.2 доказана в случае, когда функция b удовлетворяет (4.18). Рассмотрим общий случай. Пусть b̃ - модификация отображения b, удовлетворяющая (4.18). Обозначим через u_{t}, t ∈ [0, 1] – решение уравнения

u_{t}(x) = x + j(∫_{0}^{t} b̃_{s}(u_{s}(x))ds), t ∈ [0, 1].

Заметим, что тогда u_{t} удовлетворяет и (4.1) из-за эквивалентности мер μ и μ ∘ (u_{t})^{−1}, t ∈ [0, 1]. Уравнение (4.2) рассматривается аналогично.

Докажем теперь единственность решения (4.1) в предположении b_{t} ∈ W L_{∞}^{1}(X, H, μ) для п.в. t ∈ [0, 1]. Предположим, что ũ_{t}, t ∈ [0, 1] – некоторое решение (4.1). Аналогично (4.21) получим такую оценку:

E sup_{s≤t} ∥ũ_{s}−u_{s}^{(n)}∥_{H} ≤ β_{1}E ∫_{0}^{t} ∥ũ_{s}−u_{s}^{(n)}∥_{H}ds+∫_{0}^{t} ∫_{X} ∥(id_{H} −P_{n})b_{s}(x)∥_{H}p_{s}^{(n)}(x)μ(dx)ds.

Отсюда имеем сходимость:

lim_{n→∞} E sup_{t∈[0,1]} ∥ũ_{t} − u_{t}^{(n)}∥ = 0,

значит для μ-п.в. x : ũ_{t}(x) = u_{t}(x), t ∈ [0, 1].

Теорема 4.2 доказана.

5. Линейные уравнения с расширенным стохастическим интегралом.

В данном параграфе рассматриваются линейные уравнения с расширенным стохастическим интегралом. Поскольку расширенный стохастический интеграл является неким аналогом дифференциального оператора первого порядка (см.(1.3)), то уравнение с оператором I можно рассматривать как бесконечномерные уравнения в частных производных. Рассмотрим сначала более простое уравнение

\begin{cases}\frac{∂ξ_{t}(x)}{∂t} & = −⟨Dξ_{t}(x), b_{t}(x)⟩_{H} + a_{t}(x)ξ_{t}(x), t ∈ [0, 1], x ∈ X \\ ξ_{0}(x) & = f(x), \end{cases}  (5.1)

где b : [0, 1] × X → H, a : [0, 1] × X → ℝ, f : X → ℝ – измеримые функции, D – стохастическая производная.

Попробуем решить (5.1) методом характеристик, предложенный А.А.Дороговцевым [23, 24] для pешения уравнений в котоpые входят стохастические производные или расширенный стохастический интеграл.

Уравнение для характеристик примет вид (4.1), и, значит

ξ_{t}(x) = f(v_{t}(x)) exp(∫_{0}^{t} a_{s}(v_{s,t}(x))ds),  (5.2)

где u_{t}, v_{s,t} – решения (4.1), (4.2) соответственно, v_{t} = v_{0,t}.

Заметим, что если функция b удовлетворяет условиям теоремы 4.2, то процесс, определен в (5.2) корректно. Применяя аппроксимацию отображений u_{t}, v_{s,t}, предложенную в теореме 4.2, можно получить стохастическую дифференцируемость отображений (u_{t}(x) − x), (v_{s,t}(x) − x) и аналогично хорошо известным конечномерным рассуждениям [25] получим следующую теорему.

Теорема 5.1. Предположим, что мера μ и функция b удовлетворяют условиям теоремы 4.2, a ∈ L_{∞}([0, 1] × X, dt × dμ), f ∈ HC^{1}, a_{t} ∈ HC^{1} для любого t ∈ [0, 1] и sup_{t} ∥a_{t}∥_{W_{∞}^{1}} < ∞.

Тогда случайный процесс ξ_{t}, определенный в (5.2), удовлетворяет соотношению (5.1) для всех t ∈ [0, t] μ-п.н.

Опишем более точно уравнения с оператором I, которые мы будем рассматривать.

Далее везде считается, что H = L_{2}([0, 1]). Пусть a = a_{t}(x), b = b_{t}(x) – измеримые отображения из [0, 1] × X в ℝ, ξ_{0} – случайная величина.

Рассмотрим уравнение

ξ_{t} = ξ_{0} + ∫_{0}^{t} a_{s}ξ_{s}ds + I(I_{[0,t]}(·)b_{·}ξ_{·}), t ∈ [0, 1].  (5.3)

Замечание. Если μ – распределение винеровского процесса w(t), t ∈ [0, 1] в пространстве X = C_{0}([0; 1]) непрерывных функций, стартующих из нуля, H = L_{2}([0, 1]) вложено в X оператором j : h ↦ ∫_{0}^{·} h(s)ds, то уравнение (5.3) примет вид

ξ_{t} = ξ_{0} + ∫_{0}^{t} a_{s}ξ_{s}ds + ∫_{0}^{t} b_{s}ξ_{s}dw_{s},  (5.4)

где интеграл по винеровскому процессу является расширенным интегралом Скорохода.

Формально имеем равенство

If = −⟨ρ, f⟩ − tr Df.

Напомним, однако, что вообще говоря для функции f из W_{p}^{1}(X, H, μ) след оператора tr Df не определен, также не существует такого H-значного случайного элемента ρ такого, что ⟨ρ, h⟩_{H} = ρ_{h} μ-п.н.

Попробуем, все же, применить метод характеристик для решения (5.3), не заботясь пока о математической строгости.

Уравнение для характеристики примет вид

u_{t}(x) = x + j(I_{[0,t]}(·)b_{·}(u_{·}(x))),  (5.5)

где t ∈ [0, 1], x ∈ X. А само решение (5.3) будет иметь форму

ξ_{t}(x) = ξ_{0}(v_{t}(x)) exp(∫_{0}^{t} a_{s}(v_{s,t}(x))ds)·
· exp(− ∫_{0}^{t} ∑_{k=1}^{∞}[D_{e_{k}}b_{s}(v_{s,t}(x)) + b_{s}(v_{s,t}(x))ρ_{e_{k}}(v_{s,t}(x))e_{k}(s)]ds),  (5.6)

где v_{t} : X → X – отображение обратное к u_{t}, v_{s,t} = u_{s} ∘ v_{t}, {e_{k} : k ≥ 1} – ортонормированный базис H = L_{2}([0, 1]).

Третий множитель в выражении напоминает плотность Радона-Никодима L_{t} := \frac{dμ∘(v_{t})^{−1}}{dμ} (ср.с (4.3)), и формула (5.6) теперь приобретает вид

ξ_{t} = ξ_{0}(v_{t}) exp(∫_{0}^{t} a_{s}(v_{s,t})ds)L_{t}.  (5.7)

Отметим, что эвристическая формула (5.7) в том случае, когда рассматривается уравнение (5.4) с расширенным стохастическим интегралом Скорохода по винеровскому процессу, действительно [26] дает решение уравнения (5.3).

Далее мы доказываем аналогичное утверждение для гладких мер, удовлетворяющих условию B. Для этого мы реализуем следующую программу. Во-первых, приведем условия существования и единственности решения (5.5), покажем обратимость u_{t} и абсолютную непрерывность μ ∘ (v_{s,t})^{−1} ≪ μ. А во-вторых, докажем, что случайный процесс, определенный формулой (5.7), является решением (5.3).

Теорема 5.2. Предположим, что мера μ удовлетворяет условию B и измеримая функция b = b_{t}(x) : [0, 1] × X → ℝ удовлетворяет условиям

1) для п.в. t ∈ [0, 1] функция b_{t} : X → ℝ принадлежит W L_{∞}^{1};

2) esssup_{t∈[0,1]} ∥b_{t}∥_{∞,1} < ∞.

Тогда

а) существуют такие измеримые функции u = u_{t}(x) : [0, 1] × X → ℝ, v = v_{s,t}(x) : {(s, t, x)|0 ≤ s ≤ t ≤ 1, x ∈ X} → ℝ и множество X_{0} ⊂ X полной меры, что соотношения (5.5) и (5.8)

v_{s,t}(x) = x − j(I_{[s,t]}(·)b_{·}(v_{·,t}(x))), s ∈ [0, t]  (5.8)

выполняется для всех x, s, t : x ∈ X_{0}, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1; б) для всех s, t, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 меры μ, μ ∘ (u_{t})^{−1}, μ ∘ (v_{s,t})^{−1} эквивалентны; в) отображение v_{t} := v_{0,t} является п.н.обратным к u_{t} : v_{t}(u_{t}(x)) = u_{t}(v_{t}(x)) = x

для μ-п.в. x; v_{s,t} = u_{s} ∘ v_{t} μ -п.н.

г) решения уравнения (5.5), (5.8) единственны с точностью до стохастической эквивалентности, сpеди класса pешений, пеpеводящих меpу μ в абсолютно непpеpывную.

Замечание. Уравнения типа (5.5), (5.8) иногда называются уравнениями с сингулярным сносом. В гауссовском случае они исследовались в работах [27, 28, 26], где получены результаты, аналогичные теореме 5.1. Aппарат условных математических ожиданий, эффективно применяемый для гауссовских мер в указанных выше работах, не переносится напрямую для нашего случая.

Доказательство теоремы 5.2. Без потери общности можно предположить, что

∃c > 0∀t ∈ [0, 1], x ∈ X, h ∈ H : |b_{t}(x + j(h)) − b_{t}(x)| ≤ c∥h∥_{H},  (5.9)
∃β_{0} > 0∀t ∈ [0, 1], x ∈ X : sup_{t,x} |b(t, x)| ≤ β_{0}.  (5.10)

В этом случае для каждого x ∈ X уравнения (5.5), (5.8) имеют единственные решения, которые можно получить методом последовательных приближений. Проверим это на примере уравнения (5.5).

Определим последовательность {u_{n} = u_{n,t}(x) : n ≥ 0} следующим образом:

u_{0,t}(x) := x, t ∈ [0, 1], x ∈ X;
u_{n+1,t}(x) := x + j(I_{[0,t]}(·)b_{·}(u_{n,·}(x))), n ≥ 0.

Тогда

∥u_{n+1,t}(x) − u_{n,t}(x)∥_{H}^{2} = ∫_{0}^{t}(b_{s}(u_{n,s}(x)) − b_{s}(u_{n−1,s}(x)))^{2}ds ≤

≤ c ∫_{0}^{t} ∥u_{n,s}(x) − u_{n−1,s}(x)∥_{H}^{2}ds.

Используя полученное неравенство и стандартные аргументы для метода последовательных приближений, получим существование искомого решения. Единственность получается традиционным образом.

Пусть {e_{n}; n ≥ 1} ортонормированный базис L_{2}([0, 1]), состоящий из функций Хаара [?]. Обозначим через P_{n} ортогональный проектор на H_{n} :=< e_{1}, …, e_{n} > . Рассмотрим вспомогательные последовательности уравнений

u_{t}^{(n)}(x) = x + j[P_{n}(I_{[0,t]}(·)b_{·}(u_{·}^{(n)}(x))], t ∈ [0, 1];  (5.11)
v_{s,t}^{(n)}(x) = x − j[P_{n}(I_{[s,t]}(·)b_{·}(v_{·,t}^{(n)}(x))], s ∈ [0, t].  (5.12)

Разложим аналогично построениям п.4, пространство X в сумму X = Y_{n}⊕j(H_{n}) = Y_{n} × R^{n}. Тогда уравнения (5.11),(5.12) перепишутся в виде

u_{t}^{(n)}(x) = (y_{n}, x_{n} + ∫_{0}^{t} b_{s}(u_{s}^{(n)}(x))e^{(n)}(s)ds),  (5.13)
v_{s,t}^{(n)}(x) = (y_{n}, x_{n} − ∫_{s}^{t} b_{z}(v_{z,t}^{(n)}(x))e^{(n)}(z)dz),  (5.14)

где x = (y_{n}, x_{n}) ∈ X, e^{(n)} = (e_{1}, …, e_{n}) ∈ L_{2}([0, 1], ℝ^{n}).

Также, как и при доказательстве теоремы 4.2, получим эквивалентность мер μ, μ∘(u_{t}^{(n)})^{−1}, μ∘(v_{s,t}^{(n)})^{−1} и справедливость соотношений v_{t}^{(n)}(u_{t}^{(n)}(x)) = u_{t}^{(n)}(v_{t}^{(n)}(x)) = x для μ-п.в. x и v_{s} ∘ u_{t} = v_{s,t} μ-п.н. Докажем равномерную интегрируемость семейства плотностей

\{\frac{dμ ∘ (u_{t}^{(n)})^{−1}}{dμ} |n ≥ 1, t ∈ [0, 1]\} .

Для этого достаточно проверить, что

sup_{t,n,x} ∥u_{t}^{(n)}(x) − x∥_{H} < ∞,  (5.15)

sup_{n,t} esssup_{x} ∥∇_{ℝ^{n}}(u_{t}^{(n)}(x) − x)∥_{ℝ^{n}⊗ℝ^{n}} < ∞.

Соотношение (5.15) вытекает из такой оценки

∥u_{t}^{(n)}(x) − x∥_{H}^{2} ≤ ∫_{0}^{t} b^{2}(s, u_{s}^{(n)}(x)) ≤ β_{0}^{2}t,

где β_{0} – константа из (5.10).

Используя лемму 4.3 можно получить липшицевость u_{t}^{(n)} вдоль пространства ℝ^{n} и выполнение для μ-почти всех x ∈ X соотношения

∇_{ℝ^{n}}u_{t}^{(n)}(x) = (0, id_{ℝ^{n}} + ∫_{0}^{t} e^{(n)}(s)∇_{ℝ^{n}}b(s, u_{s}^{(n)}(x))ds) =
= P_{n}(I_{[0,t]}(·)∇_{ℝ^{n}}b(·, u_{·}^{(n)}(x))∇_{ℝ^{n}}u_{·}^{(n)}(x)).

Отсюда для п.в. (t, x) ∈ [0, 1] × X имеем неравенство:

∥∇_{ℝ^{n}}(u_{t}^{(n)}(x) − x)∥_{ℝ^{n}⊗ℝ^{n}} ≤ 2β_{1}^{2} ∫_{0}^{t} ∥∇_{ℝ^{n}}(u_{s}^{(n)}(x) − x)∥_{ℝ^{n}⊗ℝ^{n}}ds + 2β_{1}^{2}t,

где β_{1} = esssup_{t,x} ∥Db_{t}(x)∥_{H}. Следовательно,

sup_{n,t} esssup_{x} ∥∇_{ℝ^{n}}(u_{t}^{(n)}(x) − x)∥_{ℝ^{n}⊗ℝ^{n}}^{2} ≤ 2β_{1}^{2}e^{2β_{1}^{2}}

и равномерная интегрируемость плотностей \{\frac{dμ∘(u_{t}^{(n)})^{−1}}{dμ} : n ≥ 1, t ∈ [0, 1]\} доказана.

Для доказательства абсолютной непрерывности μ ∘ (u_{t})^{−1} ≪ μ достаточно показать (теорема 2.4), что для любых t, x имеет место сходимость u_{t}^{(n)}(x) → u_{t}(x), n → ∞.

Действительно,

∥u_{t}(x) − u_{t}^{(n)}(x)∥_{L_{2}([0,1])}^{2} = ∥I_{[0,t]}(·)b(·, u_{·}(x)) − P_{n}(I_{[0,t]}(·)b(·, u_{·}^{(n)}(x)))∥_{L_{2}([0,1])}^{2} ≤

≤ 2∥(id_{H} − P_{n})(I_{[0,t]}(·)b(·, u_{·}(x)))∥_{L_{2}([0,1])}^{2}+
+2∥P_{n}[I_{([0,t])}(·)(b(·, u_{·}(x) − b(·, u_{·}^{(n)}(x)))]∥_{L_{2}([0,1])}^{2} ≤
≤ o_{x}(1) + 2β_{1} ∫_{0}^{t} ∥u_{s}(x) − u_{s}^{(n)}(x)∥_{L_{2}([0,1])}^{2}ds,

где для любого x ∈ X : o_{x}(1) → 0, n → ∞.

Отсюда по лемме Гронуолла-Беллмана получаем искомую сходимость.

Аналогичным образом для любых s, t, s ≤ t : μ ∘ (v_{s,t})^{−1} ≪ μ, и существование доказано. Единственность доказывается аналогично Теореме 4.2.

Теорема 5.2 доказана.

Для упрощения изложения дальнейшие рассмотрения проводятся в частном случае X = C_{0}([0; 1]), H = L_{2}([0, 1]), j(h) = ∫_{0}^{·} h(s)ds.

Определение 5.3. Случайный процесс ξ_{t}, t ∈ [0, 1] называется L_{1} решением (5.3), если

1) ξ_{t} ∈ L_{1}(X, μ), t ∈ [0, 1]; a_{·}ξ_{·}, b_{·}ξ_{·} ∈ L_{1}([0, 1] × X, dt × dμ);

2) для любого f из класса

FC_{b}^{∞} = {φ(⟨x_{1}^{∗}, ·⟩, …, ⟨x_{n}^{∗}, ·⟩) : n ∈ ℕ, x_{i}^{∗} ∈ X^{∗}, φ ∈ C_{b}^{∞}(ℝ^{n})}

выполняется равенство

Ef(ξ_{t} − ξ_{0} − ∫_{0}^{t} a_{s}ξ_{s}ds) = E ∫_{0}^{t} b_{s}ξ_{s}D_{s}fds.  (5.16)

Отметим, что правая часть (5.16) определена корректно, т.к. Df ∈ L_{∞}([0, 1] × X, dt × dμ). Если же случайная функция f_{bξ}(s) = b_{s}ξ_{s}, s ∈ [0, 1] такова, что

E(∫_{0}^{1}(b_{s}ξ_{s})^{2}ds)^{p/2} < ∞,

для некоторого p ≥ 1, то правую часть (5.16) можно записать как E⟨f_{bξ}, Df⟩_{H}, и условие 2) определения 5.3 будет эквивалентно следующему: f_{bξ}I_{[0,t]} ∈ D(I_{p}) для любого t ∈ [0, 1] и равенство (5.3) выполняется для любого t μ-почти наверное.

Таким образом, определение 5.3 согласуется с определением расширенного стохастического интеграла.

Теорема 5.4. Предположим, что мера μ и случайная функция b_{t}, t ∈ [0, 1] удовлетворяют условиям теоремы 5.2, a ∈ L_{∞}([0, 1] × X, dt × dμ), ξ_{0} ∈ L_{∞}(X, μ). Тогда случайная функция ξ_{t}, заданная соотношением (5.7), является L_{1}-решением уравнения (5.3). Здесь v_{s,t} – решение (5.8), v_{t} = v_{0,t}, L_{t} = \frac{dμ∘(v_{t})^{−1}}{dμ} .

Доказательство. Пусть f ∈ FC_{b}^{∞}, ξ_{t} задано соотношением (5.7). Напомним, что v_{s,t} = u_{s} ∘ v_{t} п.н. (см.теорему 5.2). Тогда, применяя замену переменных y = v_{t}(x) получим

Ef(ξ_{t} − ξ_{0} − ∫_{0}^{t} a_{s}ξ_{s}ds) =
= E[f(u_{t})ξ_{0} exp(∫_{0}^{t} a_{s}(u_{s})ds) − fξ_{0} − ξ_{0} ∫_{0}^{t} a_{s}(u_{s})f(u_{s}) exp(∫_{0}^{s} a_{z}(u_{z})dz)ds]. (5.17)

В силу (5.5) для f ∈ FC_{b}^{∞} для всех x ∈ X имеет место равенство

f(u_{t}(x)) = f(x) + ∫_{0}^{t}(D_{s}f)(u_{s}(x))b_{s}(u_{s}(x))ds, t ∈ [0, 1]  (5.18)

Используя (5.18) проинтегрируем по частям третье слагаемое в (5.17). Получим:

Ef(ξ_{t} − ξ_{0} − ∫_{0}^{t} a_{s}ξ_{s}ds) =
= E[f(u_{t})ξ_{0} exp{∫_{0}^{t} a_{s}(u_{s})ds} − ξ_{0}f − ξ_{0}{f(u_{s}) exp(∫_{0}^{s} a_{z}(u_{z})dz)}|_{s=0}^{s=t}+
+ξ_{0} ∫_{0}^{t}(D_{s}f)(u_{s})b_{s}(u_{s}) exp{∫_{0}^{s} a_{z}(u_{z})dz}ds] =
= E ∫_{0}^{t} ξ_{0}(D_{s}f)(u_{s})b_{s}(u_{s}) exp{∫_{0}^{s} a_{z}(u_{z})dz}ds =
= E ∫_{0}^{t} ξ_{0}(v_{s}) exp{∫_{0}^{s} a_{z}(v_{z,s})dz}L_{s}b_{s}D_{s}fds,

откуда следует, что случайный процесс ξ_{t}, t ∈ [0, 1], заданный формулой (5.7), является L_{1}-решением (5.3)

Теорема доказана.

Список литературы

[1] Гихман И.И., Скороход А.В. О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах // УМН, 1966, т.21, �6, с.83-152.

[2] Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве.// М.: Наука, 1975. - 232с.

[3] R.Ramer . On nonlinear transformations of Gaussian measures// J. Func. Anal., 1974, v.15, p.166-187.

[4] Kusuoka S. The nonlinear transformation of Gaussian measure on Banach space and its absolutely continuity I,II // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. - Sec. 1A. 1982., v.29, � 3. - p. 567-598; 1983,v.30, � 1. - p. 199-220.

[5] Bogachev V.I. Differentiable measures and Malliavin calculus// Journ. Math. Sci., v.87, 1997, no.5, p.3577-3731.

[6] Далецкий Ю.Л., Сохадзе Г.А. Абсолютная непрерывность гладких мер // Функц. анализ и его прилож. - 1988. - т.22, � 2. - с. 77-78.

[7] Smolyanov O.G., H.v. Weizsacer, Differentiable families of measures// J. Func. Anal., 1993, v.118, p.454-476.

[8] Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. 1: Дифференцируемые меры // Тр. Моск. мат. об-ва. - 1971. - т.24. - с.133-174.

[9] Федерер Г. Геометрическая теория меры. // М.: Наука. - 1987. - 288с.

[10] Скороход А.В. Случайные линейные операторы.// К., Наук. думка, 1978, 200с.

[11] Enchev O., Strook D.W. Rademacher’s theorem for the Wiener functionals.// Ann. of Prob, 1993. - 21, � 1. - p. 25-33.

[12] Pilipenko A.Yu. Anticipative analogues of diffusion processes.// Theory of stochastic processes, vol. 3(19), no.3-4,1997, pp.363-372.

[13] Кулик А.М. Фильтрация и конечномерная характеризация логарифмически выпуклых мер. // Укр. мат. журн.(в печати).

[14] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.// М., Наука, 1965, 448 с.

[15] Дороговцев А.А. Стохастические уравнения с упреждением.// Ин-т мат. НАН Украины. - Киев, 1996. - 152 с.

[16] Богачев В.И. Гауссовские меры.// М, Наука, 1997, 474с.

[17] Smale S. An infinite dimensional version of Sard’s theorem. // Amer. J. Math. -1965, v.87, p.861-866.

[18] Kulik A.M. Integral representation for functionals on a space with a smooth measure.// Theory of stochastic processes,-1997,-v.3, n.1-2, p.235-244.

[19] Cruseiro A.B. Equations differentielles sur l’espace de Wiener et formues de Cameron-Martin non-lineaires// J. Func. Anal., 1983, v.54, p.206-227.

[20] V.I.Bogachev, E.Mayer-Wolf, Absolutely continuous flows generated by Sobolev class vector fields in finite and infinite dimensions // Preprint SFB343, Univ. Bielefeld,1994.

[21] Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. // М., ИЛ, 1958, 474с.

[22] Далецкий Ю.Л., Белопольская Я.И. Стохастическая дифференциальная геометрия.// Киев, Выща школа, 1989, 295с.

[23] Дороговцев А.А. Линейные уравнения, содержащие расширенный стохастический интеграл// УМЖ , 1989.-т.41, � 12.-с.1714-1716.

[24] Dorogovtsev A.A. Stochastic analysis and random maps in Hilbert space.-Utrecht, Tokyo:VSP, 1994.-110p.

[25] Курант Р. Уравнения с частными производными. // М., Мир,1964, 830с.

[26] Buckdahn R. Anticipative Girsanov transformations and Skorohod stochastic differential equations,// Memories of the Amer. Math. Soc. - 1994, v.111, n.533, p. 1-88.

[27] Ustunel A.S., Zakai M. Transformation of Wiener measure under anticipative flows.//- Probab. Theory Related Fields.-1994, v.93, p.91-136. 29.

[28] Enchev O., Strook D.W. Anticipative diffusion and related changes of measure.// - J. Func. Anal., 1993, v.116, p.449-473.

[29] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа // М., Наука, 1989, 624с.

[30] O.Enchev, D.W.Strook: Rademacher’s theorem for the Wiener functionals. Ann. of Prob., 21(1993), no.1, 25–33.