Methods of Functional Analysis
and Topology

We study the question of existence of a unique bounded solution to a Cauchy problem for a higher-order differential equation with bounded operator coefficients. The case under consideration is where the corresponding “algebraic” operator equation has separated pairwise commuting roots. Using the Vandermonde operator constructed from such roots, representations for a unique bounded solution and the Cauchy problem are obtained.

Вивчається питання iснування єдиного обмеженого рохв’язку задачi Кошi для диференцiального рiвняння вищого порядку з обмеженим оператором коефiцiєнтами. Розглядається випадок, в якому вiдповiдне “алгебраїчне” операторне рiвняння має вiдокремленi попарно коммутуючi коренi. Використовуючи оператор Вандермонда, який побудований за такими коренями, отримано представлення для єдиного обмеженого розв’язку задачi Кошi.

The aim of this work is to introduce the domain and the Favard spaces of order $\alpha$ where $\alpha\in]0,1]$ for $k$-regularized resolvent family, extending some of the well-known theorems for semigroup and resolvent family. Furthermore, we show some relationship between the Favard temporal spaces and the Favard frequential spaces for scalar Volterra linear systems in Banach spaces, extending some results in [8,3].

Метою цієї роботи є ввести область та простори Фавара порядку $ \alpha$, де $ \alpha \in] 0,1] $ для $k $ --- регуляризованої сім'ї резольвент, та розширити деякі з добре відомих теорем для напівгруп і сімей резольвент. Крім того, ми показуємо деякий взаємозв'язок між часовими просторами Фавара та просторовими просторами Фавара для скалярних лінійних систем Вольтерра в банахових просторах, розширюючи деякі результати в [8,3].

In this article, we consider algebras $\mathcal{A}$ of non-formal pseudodifferential operators over $S^1$ which contain $C^\infty(S^1),$ understood as multiplication operators. We apply a construction of Chern-Weil type forms in order to get $2k-$closed cocycles. For $k=1,$ we obtain a cocycle on the algebra of (maybe non classical) pseudodifferential operators with the same cohomology class as the Schwinger cocycle on the algebra of classical pseudodifferential operators, previously extended and studied by the author on algebras of the same type.

У цій статті ми розглядаємо алгебри $\mathcal {A}$ неформальних псевдодиференціальних операторів над $ S^1$, які містять $C ^ \infty (S ^ 1) $ і розглядаються як оператори множення. Застосовується конструкцію форм типу Черна-Вейля, для отримання $ 2k$-замкне\-них коциклів. Для $ k = 1 $, ми отримуємо коцикл на алгебрі псевдодиференційних операторів (можливо, некласичній) з тим самим класом когомологій, що і коцикл Швінгера на алгебрі класичних псевдодиференціальних операторів, який був раніше розширений і вивчений автором на алгебрах того ж самого типу.

We consider the problem of extending the notion of a Fredholm integral equation and investigate its solvability in the class of bounded functions on the real line.

Розглядається задача розширення поняття iнтегрального рiвняння Фредгольма i дослiджено його розв’язнiсть у класi обмежених функцiй на дiйснiй прямiй.